Løs x^2-4x-9=0

$${ x }^{ 2 } -4x-9=0$$

Løs for x

$$x=\sqrt{13}+2\approx 5,605551275$$

$$x=2-\sqrt{13}\approx -1,605551275$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}-4x-9=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -4 med b og -9 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

Kvadrér -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-9\right)}}{2}$$

Multiplicer -4 gange -9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+36}}{2}$$

Adder 16 til 36.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{52}}{2}$$

Tag kvadratroden af 52.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{13}}{2}$$

Det modsatte af -4 er 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{13}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±2\sqrt{13}}{2} når ± er plus. Adder 4 til 2\sqrt{13}.

$$x=\frac{2\sqrt{13}+4}{2}$$

Divider 4+2\sqrt{13} med 2.

$$x=\sqrt{13}+2$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±2\sqrt{13}}{2} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{13} fra 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{13}}{2}$$

Divider 4-2\sqrt{13} med 2.

$$x=2-\sqrt{13}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\sqrt{13}+2 x=2-\sqrt{13}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$x^{2}-4x-9=0$$

Adder 9 på begge sider af ligningen.

$$x^{2}-4x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Hvis -9 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}-4x=-\left(-9\right)$$

Subtraher -9 fra 0.

$$x^{2}-4x=9$$

Divider -4, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -2. Adder derefter kvadratet af -2 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=9+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrér -2.

$$x^{2}-4x+4=9+4$$

Adder 9 til 4.

$$x^{2}-4x+4=13$$

Faktor x^{2}-4x+4. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-2\right)^{2}=13$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{13}$$

Forenkling.

$$x-2=\sqrt{13} x-2=-\sqrt{13}$$

Adder 2 på begge sider af ligningen.

$$x=\sqrt{13}+2 x=2-\sqrt{13}$$