Løs x^2-4x-5=2

$${ x }^{ 2 } -4x-5 = 2$$

Løs for x

$$x=\sqrt{11}+2\approx 5,31662479$$

$$x=2-\sqrt{11}\approx -1,31662479$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}-4x-5=2$$

Subtraher 2 fra begge sider af ligningen.

$$x^{2}-4x-5-2=2-2$$

Hvis 2 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}-4x-5-2=0$$

Subtraher 2 fra -5.

$$x^{2}-4x-7=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -4 med b og -7 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-7\right)}}{2}$$

Kvadrér -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-7\right)}}{2}$$

Multiplicer -4 gange -7.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+28}}{2}$$

Adder 16 til 28.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{44}}{2}$$

Tag kvadratroden af 44.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{11}}{2}$$

Det modsatte af -4 er 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{11}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±2\sqrt{11}}{2} når ± er plus. Adder 4 til 2\sqrt{11}.

$$x=\frac{2\sqrt{11}+4}{2}$$

Divider 4+2\sqrt{11} med 2.

$$x=\sqrt{11}+2$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±2\sqrt{11}}{2} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{11} fra 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{11}}{2}$$

Divider 4-2\sqrt{11} med 2.

$$x=2-\sqrt{11}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\sqrt{11}+2 x=2-\sqrt{11}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$x^{2}-4x-5=2$$

Adder 5 på begge sider af ligningen.

$$x^{2}-4x-5-\left(-5\right)=2-\left(-5\right)$$

Hvis -5 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}-4x=2-\left(-5\right)$$

Subtraher -5 fra 2.

$$x^{2}-4x=7$$

Divider -4, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -2. Adder derefter kvadratet af -2 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=7+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrér -2.

$$x^{2}-4x+4=7+4$$

Adder 7 til 4.

$$x^{2}-4x+4=11$$

Faktor x^{2}-4x+4. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-2\right)^{2}=11$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{11}$$

Forenkling.

$$x-2=\sqrt{11} x-2=-\sqrt{11}$$

Adder 2 på begge sider af ligningen.

$$x=\sqrt{11}+2 x=2-\sqrt{11}$$