Løs x^2-4x-5=11

$${ x }^{ 2 } -4x-5 = 11$$

Løs for x

$$x=2\sqrt{5}+2\approx 6,472135955$$

$$x=2-2\sqrt{5}\approx -2,472135955$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}-4x-5=11$$

Subtraher 11 fra begge sider af ligningen.

$$x^{2}-4x-5-11=11-11$$

Hvis 11 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}-4x-5-11=0$$

Subtraher 11 fra -5.

$$x^{2}-4x-16=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -4 med b og -16 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-16\right)}}{2}$$

Kvadrér -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-16\right)}}{2}$$

Multiplicer -4 gange -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+64}}{2}$$

Adder 16 til 64.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{80}}{2}$$

Tag kvadratroden af 80.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{5}}{2}$$

Det modsatte af -4 er 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{5}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±4\sqrt{5}}{2} når ± er plus. Adder 4 til 4\sqrt{5}.

$$x=\frac{4\sqrt{5}+4}{2}$$

Divider 4+4\sqrt{5} med 2.

$$x=2\sqrt{5}+2$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±4\sqrt{5}}{2} når ± er minus. Subtraher 4\sqrt{5} fra 4.

$$x=\frac{4-4\sqrt{5}}{2}$$

Divider 4-4\sqrt{5} med 2.

$$x=2-2\sqrt{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=2\sqrt{5}+2 x=2-2\sqrt{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$x^{2}-4x-5=11$$

Adder 5 på begge sider af ligningen.

$$x^{2}-4x-5-\left(-5\right)=11-\left(-5\right)$$

Hvis -5 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}-4x=11-\left(-5\right)$$

Subtraher -5 fra 11.

$$x^{2}-4x=16$$

Divider -4, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -2. Adder derefter kvadratet af -2 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=16+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrér -2.

$$x^{2}-4x+4=16+4$$

Adder 16 til 4.

$$x^{2}-4x+4=20$$

Faktor x^{2}-4x+4. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-2\right)^{2}=20$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{20}$$

Forenkling.

$$x-2=2\sqrt{5} x-2=-2\sqrt{5}$$

Adder 2 på begge sider af ligningen.

$$x=2\sqrt{5}+2 x=2-2\sqrt{5}$$