Løs x^2-4x+9=0

$${ x }^{ 2 } -4x+9=0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=2+\sqrt{5}i\approx 2+2,236067977i$$

$$x=-\sqrt{5}i+2\approx 2-2,236067977i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}-4x+9=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -4 med b og 9 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 9}}{2}$$

Kvadrér -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 9}}{2}$$

Multiplicer -4 gange 9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-36}}{2}$$

Adder 16 til -36.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-20}}{2}$$

Tag kvadratroden af -20.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{5}i}{2}$$

Det modsatte af -4 er 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{5}i}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±2\sqrt{5}i}{2} når ± er plus. Adder 4 til 2i\sqrt{5}.

$$x=\frac{4+2\sqrt{5}i}{2}$$

Divider 4+2i\sqrt{5} med 2.

$$x=2+\sqrt{5}i$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±2\sqrt{5}i}{2} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{5} fra 4.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+4}{2}$$

Divider 4-2i\sqrt{5} med 2.

$$x=-\sqrt{5}i+2$$

Ligningen er nu løst.

$$x=2+\sqrt{5}i x=-\sqrt{5}i+2$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$x^{2}-4x+9=0$$

Subtraher 9 fra begge sider af ligningen.

$$x^{2}-4x+9-9=-9$$

Hvis 9 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}-4x=-9$$

Divider -4, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -2. Adder derefter kvadratet af -2 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-9+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrér -2.

$$x^{2}-4x+4=-9+4$$

Adder -9 til 4.

$$x^{2}-4x+4=-5$$

Faktor x^{2}-4x+4. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-2\right)^{2}=-5$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-5}$$

Forenkling.

$$x-2=\sqrt{5}i x-2=-\sqrt{5}i$$

Adder 2 på begge sider af ligningen.

$$x=2+\sqrt{5}i x=-\sqrt{5}i+2$$