Løs x^2-4x+5=0

$${ x }^{ 2 } -4x+5 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=2+i$$

$$x=2-i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}-4x+5=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -4 med b og 5 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5}}{2}$$

Kvadrér -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5}}{2}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20}}{2}$$

Adder 16 til -20.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-4}}{2}$$

Tag kvadratroden af -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2i}{2}$$

Det modsatte af -4 er 4.

$$x=\frac{4±2i}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±2i}{2} når ± er plus. Adder 4 til 2i.

$$x=\frac{4+2i}{2}$$

Divider 4+2i med 2.

$$x=2+i$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±2i}{2} når ± er minus. Subtraher 2i fra 4.

$$x=\frac{4-2i}{2}$$

Divider 4-2i med 2.

$$x=2-i$$

Ligningen er nu løst.

$$x=2+i x=2-i$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$x^{2}-4x+5=0$$

Subtraher 5 fra begge sider af ligningen.

$$x^{2}-4x+5-5=-5$$

Hvis 5 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}-4x=-5$$

Divider -4, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -2. Adder derefter kvadratet af -2 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-5+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrér -2.

$$x^{2}-4x+4=-5+4$$

Adder -5 til 4.

$$x^{2}-4x+4=-1$$

Faktoriser x^{2}-4x+4. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=-1$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Forenkling.

$$x-2=i x-2=-i$$

Adder 2 på begge sider af ligningen.

$$x=2+i x=2-i$$