Løs x^2-4x+1=0

$${ x }^{ 2 } -4x+1=0$$

Løs for x

$$x=\sqrt{3}+2\approx 3,732050808$$

$$x=2-\sqrt{3}\approx 0,267949192$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}-4x+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -4 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4}}{2}$$

Kvadrér -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4}}{2}$$

Adder 16 til -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Tag kvadratroden af 12.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Det modsatte af -4 er 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2} når ± er plus. Adder 4 til 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+4}{2}$$

Divider 4+2\sqrt{3} med 2.

$$x=\sqrt{3}+2$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{3} fra 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}$$

Divider 4-2\sqrt{3} med 2.

$$x=2-\sqrt{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\sqrt{3}+2 x=2-\sqrt{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$x^{2}-4x+1=0$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$x^{2}-4x+1-1=-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}-4x=-1$$

Divider -4, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -2. Adder derefter kvadratet af -2 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-1+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrér -2.

$$x^{2}-4x+4=-1+4$$

Adder -1 til 4.

$$x^{2}-4x+4=3$$

Faktor x^{2}-4x+4. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-2\right)^{2}=3$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{3}$$

Forenkling.

$$x-2=\sqrt{3} x-2=-\sqrt{3}$$

Adder 2 på begge sider af ligningen.

$$x=\sqrt{3}+2 x=2-\sqrt{3}$$