Løs x^2-3x-5=0

$${ x }^{ 2 } -3x-5 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{29} + 3}{2} \approx 4,192582404$$

$$x=\frac{3-\sqrt{29}}{2}\approx -1,192582404$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}-3x-5=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -3 med b og -5 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-5\right)}}{2}$$

Kvadrér -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-5\right)}}{2}$$

Multiplicer -4 gange -5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+20}}{2}$$

Adder 9 til 20.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{29}}{2}$$

Det modsatte af -3 er 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{29}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{3±\sqrt{29}}{2} når ± er plus. Adder 3 til \sqrt{29}.

$$x=\frac{\sqrt{29}+3}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{3±\sqrt{29}}{2} når ± er minus. Subtraher \sqrt{29} fra 3.

$$x=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{29}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$x^{2}-3x-5=0$$

Adder 5 på begge sider af ligningen.

$$x^{2}-3x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Hvis -5 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}-3x=-\left(-5\right)$$

Subtraher -5 fra 0.

$$x^{2}-3x=5$$

Divider -3, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{3}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{3}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=5+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=5+\frac{9}{4}$$

Adder 5 til \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{29}{4}$$

Faktor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{29}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{29}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{29}}{2}$$

Adder \frac{3}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{29}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$$