Løs x^2-3x+4=0

$${ x }^{ 2 } -3x+4 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{7}i}{2}\approx 1,5+1,322875656i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+3}{2}\approx 1,5-1,322875656i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}-3x+4=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -3 med b og 4 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 4}}{2}$$

Kvadrér -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 4}}{2}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-16}}{2}$$

Adder 9 til -16.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-7}}{2}$$

Tag kvadratroden af -7.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{7}i}{2}$$

Det modsatte af -3 er 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{7}i}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{3±\sqrt{7}i}{2} når ± er plus. Adder 3 til i\sqrt{7}.

$$x=\frac{3+\sqrt{7}i}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{3±\sqrt{7}i}{2} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{7} fra 3.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+3}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{3+\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-\sqrt{7}i+3}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$x^{2}-3x+4=0$$

Subtraher 4 fra begge sider af ligningen.

$$x^{2}-3x+4-4=-4$$

Hvis 4 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}-3x=-4$$

Divider -3, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{3}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{3}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-4+\frac{9}{4}$$

Adder -4 til \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-\frac{7}{4}$$

Faktor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{7}i}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{7}i}{2}$$

Adder \frac{3}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{3+\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-\sqrt{7}i+3}{2}$$