Løs x^2-3x+1<0

$${ x }^{ 2 } -3x+1 < 0$$

Løs for x

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

For at løse uligheden skal du faktorisere venstre side. Kvadratisk polynomium kan faktoriseres ved hjælp af transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), hvor x_{1} og x_{2} er løsninger af den kvadratiske ligning ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-3x+1=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat 1 med a, -3 med b, og 1 med c i den kvadratiske formel.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Lav beregningerne.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Løs ligningen x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} når ± er plus, og når ± er minus.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Omskriv uligheden ved hjælp af de hentede løsninger.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)<0$$

For at produktet bliver negativt, skal x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} og x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} have modsatte tegn. Overvej sagen, når x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} er positiv og x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} er negativ.

$$x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}>0 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}<0$$

Dette er falsk for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Overvej sagen, når x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} er positiv og x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} er negativ.

$$x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}<0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Den endelige løsning er foreningen af de hentede løsninger.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$