Løs x^2-21x+104=0

$${ x }^{ 2 } -21x+104=0$$

Løs for x

$$x=8$$

$$x=13$$

Vejledning i faktorisering

Faktoriser x^{2}-21x+104 ved hjælp af formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) for at løse ligningen. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-21 ab=104$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 104.

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

Løsningen er det par, der får summen -21.

$$a=-13 b=-8$$

Omskriv det faktoriserede udtryk \left(x+a\right)\left(x+b\right) ved hjælp af de opnåede værdier.

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

Løs x-13=0 og x-8=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=13 x=8$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktorisere venstre side ved at gruppere. Først skal venstre side omskrives som x^{2}+ax+bx+104. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-21 ab=1\times 104=104$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 104.

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

Løsningen er det par, der får summen -21.

$$a=-13 b=-8$$

Omskriv x^{2}-21x+104 som \left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right).

$$\left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right)$$

Udfaktoriser x i den første og -8 i den anden gruppe.

$$x\left(x-13\right)-8\left(x-13\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-13 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

Løs x-13=0 og x-8=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=13 x=8$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}-21x+104=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -21 med b og 104 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 104}}{2}$$

Kvadrér -21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 104}}{2}$$

Multiplicer -4 gange 104.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-416}}{2}$$

Adder 441 til -416.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{25}}{2}$$

Tag kvadratroden af 25.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±5}{2}$$

Det modsatte af -21 er 21.

$$x=\frac{21±5}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{21±5}{2} når ± er plus. Adder 21 til 5.

$$x=\frac{26}{2}$$

Divider 26 med 2.

$$x=13$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{21±5}{2} når ± er minus. Subtraher 5 fra 21.

$$x=\frac{16}{2}$$

Divider 16 med 2.

$$x=8$$

Ligningen er nu løst.

$$x=13 x=8$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$x^{2}-21x+104=0$$

Subtraher 104 fra begge sider af ligningen.

$$x^{2}-21x+104-104=-104$$

Hvis 104 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}-21x=-104$$

Divider -21, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{21}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{21}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-21x+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-104+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{21}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=-104+\frac{441}{4}$$

Adder -104 til \frac{441}{4}.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=\frac{25}{4}$$

Faktoriser x^{2}-21x+\frac{441}{4}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{21}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{21}{2}=-\frac{5}{2}$$

Adder \frac{21}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=13 x=8$$