Løs x^2-14x+19=4

$${ x }^{ 2 } -14x+19=4$$

Løs for x

$$x=\sqrt{34}+7\approx 12,830951895$$

$$x=7-\sqrt{34}\approx 1,169048105$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}-14x+19=4$$

Subtraher 4 fra begge sider af ligningen.

$$x^{2}-14x+19-4=4-4$$

Hvis 4 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}-14x+19-4=0$$

Subtraher 4 fra 19.

$$x^{2}-14x+15=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -14 med b og 15 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 15}}{2}$$

Kvadrér -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 15}}{2}$$

Multiplicer -4 gange 15.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-60}}{2}$$

Adder 196 til -60.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{136}}{2}$$

Tag kvadratroden af 136.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{34}}{2}$$

Det modsatte af -14 er 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{34}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{14±2\sqrt{34}}{2} når ± er plus. Adder 14 til 2\sqrt{34}.

$$x=\frac{2\sqrt{34}+14}{2}$$

Divider 14+2\sqrt{34} med 2.

$$x=\sqrt{34}+7$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{14±2\sqrt{34}}{2} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{34} fra 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{34}}{2}$$

Divider 14-2\sqrt{34} med 2.

$$x=7-\sqrt{34}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\sqrt{34}+7 x=7-\sqrt{34}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$x^{2}-14x+19=4$$

Subtraher 19 fra begge sider af ligningen.

$$x^{2}-14x+19-19=4-19$$

Hvis 19 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}-14x=4-19$$

Subtraher 19 fra 4.

$$x^{2}-14x=-15$$

Divider -14, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -7. Adder derefter kvadratet af -7 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-15+\left(-7\right)^{2}$$

Kvadrér -7.

$$x^{2}-14x+49=-15+49$$

Adder -15 til 49.

$$x^{2}-14x+49=34$$

Faktor x^{2}-14x+49. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-7\right)^{2}=34$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{34}$$

Forenkling.

$$x-7=\sqrt{34} x-7=-\sqrt{34}$$

Adder 7 på begge sider af ligningen.

$$x=\sqrt{34}+7 x=7-\sqrt{34}$$