Løs x^2-12x-5=-22

$${ x }^{ 2 } -12x-5=-22$$

Løs for x

$$x=\sqrt{19}+6\approx 10,358898944$$

$$x=6-\sqrt{19}\approx 1,641101056$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}-12x-5=-22$$

Adder 22 på begge sider af ligningen.

$$x^{2}-12x-5-\left(-22\right)=-22-\left(-22\right)$$

Hvis -22 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}-12x-5-\left(-22\right)=0$$

Subtraher -22 fra -5.

$$x^{2}-12x+17=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -12 med b og 17 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 17}}{2}$$

Kvadrér -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 17}}{2}$$

Multiplicer -4 gange 17.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-68}}{2}$$

Adder 144 til -68.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{76}}{2}$$

Tag kvadratroden af 76.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{19}}{2}$$

Det modsatte af -12 er 12.

$$x=\frac{12±2\sqrt{19}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{12±2\sqrt{19}}{2} når ± er plus. Adder 12 til 2\sqrt{19}.

$$x=\frac{2\sqrt{19}+12}{2}$$

Divider 12+2\sqrt{19} med 2.

$$x=\sqrt{19}+6$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{12±2\sqrt{19}}{2} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{19} fra 12.

$$x=\frac{12-2\sqrt{19}}{2}$$

Divider 12-2\sqrt{19} med 2.

$$x=6-\sqrt{19}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\sqrt{19}+6 x=6-\sqrt{19}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$x^{2}-12x-5=-22$$

Adder 5 på begge sider af ligningen.

$$x^{2}-12x-5-\left(-5\right)=-22-\left(-5\right)$$

Hvis -5 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}-12x=-22-\left(-5\right)$$

Subtraher -5 fra -22.

$$x^{2}-12x=-17$$

Divider -12, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -6. Adder derefter kvadratet af -6 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-17+\left(-6\right)^{2}$$

Kvadrér -6.

$$x^{2}-12x+36=-17+36$$

Adder -17 til 36.

$$x^{2}-12x+36=19$$

Faktor x^{2}-12x+36. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-6\right)^{2}=19$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{19}$$

Forenkling.

$$x-6=\sqrt{19} x-6=-\sqrt{19}$$

Adder 6 på begge sider af ligningen.

$$x=\sqrt{19}+6 x=6-\sqrt{19}$$