Løs x^2-(7+x/2)((7+x/2)+x)=11

$${ x }^{ 2 } -( \frac{ 7+x }{ 2 } )(( \frac{ 7+x }{ 2 } )+x)=11$$

Løs for x

$$x=-3$$

$$x=31$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Multiplicer begge sider af ligningen med 2.

$$2x^{2}-\left(7+x\right)\left(\frac{7+x}{2}+x\right)=22$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 7+x med \frac{7+x}{2}+x.

$$2x^{2}-\left(7\times \frac{7+x}{2}+7x+x\times \frac{7+x}{2}+x^{2}\right)=22$$

Udtryk 7\times \frac{7+x}{2} som en enkelt brøk.

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)}{2}+7x+x\times \frac{7+x}{2}+x^{2}\right)=22$$

Udtryk x\times \frac{7+x}{2} som en enkelt brøk.

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)}{2}+7x+\frac{x\left(7+x\right)}{2}+x^{2}\right)=22$$

Da \frac{7\left(7+x\right)}{2} og \frac{x\left(7+x\right)}{2} har den samme fællesnævner, skal du addere dem ved at tilføje deres tællere.

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)+x\left(7+x\right)}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

Lav multiplikationerne i 7\left(7+x\right)+x\left(7+x\right).

$$2x^{2}-\left(\frac{49+7x+7x+x^{2}}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

Kombiner ens led i 49+7x+7x+x^{2}.

$$2x^{2}-\left(\frac{49+14x+x^{2}}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

For at finde det modsatte af \frac{49+14x+x^{2}}{2}+7x+x^{2} skal du finde det modsatte af hvert led.

$$2x^{2}-\frac{49+14x+x^{2}}{2}-7x-x^{2}=22$$

Kombiner 2x^{2} og -x^{2} for at få x^{2}.

$$x^{2}-\frac{49+14x+x^{2}}{2}-7x=22$$

Divider hvert led på 49+14x+x^{2} med 2 for at få \frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2}.

$$x^{2}-\left(\frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2}\right)-7x=22$$

For at finde det modsatte af \frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2} skal du finde det modsatte af hvert led.

$$x^{2}-\frac{49}{2}-7x-\frac{1}{2}x^{2}-7x=22$$

Kombiner x^{2} og -\frac{1}{2}x^{2} for at få \frac{1}{2}x^{2}.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{49}{2}-7x-7x=22$$

Kombiner -7x og -7x for at få -14x.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{49}{2}-14x=22$$

Subtraher 22 fra begge sider.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{49}{2}-14x-22=0$$

Subtraher 22 fra -\frac{49}{2} for at få -\frac{93}{2}.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{93}{2}-14x=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$\frac{1}{2}x^{2}-14x-\frac{93}{2}=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat \frac{1}{2} med a, -14 med b og -\frac{93}{2} med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times \frac{1}{2}\left(-\frac{93}{2}\right)}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Kvadrér -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times \frac{1}{2}\left(-\frac{93}{2}\right)}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Multiplicer -4 gange \frac{1}{2}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-2\left(-\frac{93}{2}\right)}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Multiplicer -2 gange -\frac{93}{2}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+93}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Adder 196 til 93.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{289}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Tag kvadratroden af 289.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±17}{2\times \frac{1}{2}}$$

Det modsatte af -14 er 14.

$$x=\frac{14±17}{2\times \frac{1}{2}}$$

Multiplicer 2 gange \frac{1}{2}.

$$x=\frac{14±17}{1}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{14±17}{1} når ± er plus. Adder 14 til 17.

$$x=\frac{31}{1}$$

Divider 31 med 1.

$$x=31$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{14±17}{1} når ± er minus. Subtraher 17 fra 14.

$$x=-\frac{3}{1}$$

Divider -3 med 1.

$$x=-3$$

Ligningen er nu løst.

$$x=31 x=-3$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Multiplicer begge sider af ligningen med 2.

$$2x^{2}-\left(7+x\right)\left(\frac{7+x}{2}+x\right)=22$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 7+x med \frac{7+x}{2}+x.

$$2x^{2}-\left(7\times \frac{7+x}{2}+7x+x\times \frac{7+x}{2}+x^{2}\right)=22$$

Udtryk 7\times \frac{7+x}{2} som en enkelt brøk.

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)}{2}+7x+x\times \frac{7+x}{2}+x^{2}\right)=22$$

Udtryk x\times \frac{7+x}{2} som en enkelt brøk.

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)}{2}+7x+\frac{x\left(7+x\right)}{2}+x^{2}\right)=22$$

Da \frac{7\left(7+x\right)}{2} og \frac{x\left(7+x\right)}{2} har den samme fællesnævner, skal du addere dem ved at tilføje deres tællere.

$$2x^{2}-\left(\frac{7\left(7+x\right)+x\left(7+x\right)}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

Lav multiplikationerne i 7\left(7+x\right)+x\left(7+x\right).

$$2x^{2}-\left(\frac{49+7x+7x+x^{2}}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

Kombiner ens led i 49+7x+7x+x^{2}.

$$2x^{2}-\left(\frac{49+14x+x^{2}}{2}+7x+x^{2}\right)=22$$

For at finde det modsatte af \frac{49+14x+x^{2}}{2}+7x+x^{2} skal du finde det modsatte af hvert led.

$$2x^{2}-\frac{49+14x+x^{2}}{2}-7x-x^{2}=22$$

Kombiner 2x^{2} og -x^{2} for at få x^{2}.

$$x^{2}-\frac{49+14x+x^{2}}{2}-7x=22$$

Divider hvert led på 49+14x+x^{2} med 2 for at få \frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2}.

$$x^{2}-\left(\frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2}\right)-7x=22$$

For at finde det modsatte af \frac{49}{2}+7x+\frac{1}{2}x^{2} skal du finde det modsatte af hvert led.

$$x^{2}-\frac{49}{2}-7x-\frac{1}{2}x^{2}-7x=22$$

Kombiner x^{2} og -\frac{1}{2}x^{2} for at få \frac{1}{2}x^{2}.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{49}{2}-7x-7x=22$$

Kombiner -7x og -7x for at få -14x.

$$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{49}{2}-14x=22$$

Tilføj \frac{49}{2} på begge sider.

$$\frac{1}{2}x^{2}-14x=22+\frac{49}{2}$$

Tilføj 22 og \frac{49}{2} for at få \frac{93}{2}.

$$\frac{1}{2}x^{2}-14x=\frac{93}{2}$$

Multiplicer begge sider med 2.

$$\frac{\frac{1}{2}x^{2}-14x}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{93}{2}}{\frac{1}{2}}$$

Division med \frac{1}{2} annullerer multiplikationen med \frac{1}{2}.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{\frac{1}{2}}\right)x=\frac{\frac{93}{2}}{\frac{1}{2}}$$

Divider -14 med \frac{1}{2} ved at multiplicere -14 med den reciprokke værdi af \frac{1}{2}.

$$x^{2}-28x=\frac{\frac{93}{2}}{\frac{1}{2}}$$

Divider \frac{93}{2} med \frac{1}{2} ved at multiplicere \frac{93}{2} med den reciprokke værdi af \frac{1}{2}.

$$x^{2}-28x=93$$

Divider -28, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -14. Adder derefter kvadratet af -14 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-28x+\left(-14\right)^{2}=93+\left(-14\right)^{2}$$

Kvadrér -14.

$$x^{2}-28x+196=93+196$$

Adder 93 til 196.

$$x^{2}-28x+196=289$$

Faktor x^{2}-28x+196. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-14\right)^{2}=289$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-14\right)^{2}}=\sqrt{289}$$

Forenkling.

$$x-14=17 x-14=-17$$

Adder 14 på begge sider af ligningen.

$$x=31 x=-3$$