Løs x^2+x+19=0

$${ x }^{ 2 } +x+19=0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-1+5\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+4,330127019i$$

$$x=\frac{-5\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-4,330127019i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}+x+19=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, 1 med b og 19 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 19}}{2}$$

Kvadrér 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 19}}{2}$$

Multiplicer -4 gange 19.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-76}}{2}$$

Adder 1 til -76.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-75}}{2}$$

Tag kvadratroden af -75.

$$x=\frac{-1±5\sqrt{3}i}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±5\sqrt{3}i}{2} når ± er plus. Adder -1 til 5i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-1+5\sqrt{3}i}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±5\sqrt{3}i}{2} når ± er minus. Subtraher 5i\sqrt{3} fra -1.

$$x=\frac{-5\sqrt{3}i-1}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-1+5\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-5\sqrt{3}i-1}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$x^{2}+x+19=0$$

Subtraher 19 fra begge sider af ligningen.

$$x^{2}+x+19-19=-19$$

Hvis 19 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$x^{2}+x=-19$$

Divider 1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-19+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-19+\frac{1}{4}$$

Adder -19 til \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{75}{4}$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{75}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{75}{4}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{5\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{5\sqrt{3}i}{2}$$

Subtraher \frac{1}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{-1+5\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-5\sqrt{3}i-1}{2}$$