Løs x^2+2{left(sqrt{2}div2x-2sqrt{2}right)}^2=8

$${ x }^{ 2 } +2 { \left( \sqrt{ 2 } \div 2x-2 \sqrt{ 2 } \right) }^{ 2 } =8$$

Løs for x

$$x=2$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Udtryk \frac{\sqrt{2}}{2}x som en enkelt brøk.

$$x^{2}+2\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}=8$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$x^{2}+2\left(\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}\right)^{2}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

For at hæve \frac{\sqrt{2}x}{2} i en potens skal både tælleren og nævneren hæves i potensen og så divideres.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Ophæv den største fælles faktor 2 i 4 og 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Kvadratet på \sqrt{2} er 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\times 2\right)=8$$

Multiplicer 4 og 2 for at få 8.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8\right)=8$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2 med \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Udvid \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Kvadratet på \sqrt{2} er 2.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Beregn 2 til potensen af 2, og få 4.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{4}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Divider 2x^{2} med 4 for at få \frac{1}{2}x^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{1}{2}x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Multiplicer 2 og \frac{1}{2} for at få 1.

$$x^{2}+x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Kvadratet på \sqrt{2} er 2.

$$x^{2}+x^{2}-4x\times 2+16=8$$

Multiplicer -4 og 2 for at få -8.

$$x^{2}+x^{2}-8x+16=8$$

Kombiner x^{2} og x^{2} for at få 2x^{2}.

$$2x^{2}-8x+16=8$$

Subtraher 8 fra begge sider.

$$2x^{2}-8x+16-8=0$$

Subtraher 8 fra 16 for at få 8.

$$2x^{2}-8x+8=0$$

Divider begge sider med 2.

$$x^{2}-4x+4=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som x^{2}+ax+bx+4. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-4 ab=1\times 4=4$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Løsningen er det par, der får summen -4.

$$a=-2 b=-2$$

Omskriv x^{2}-4x+4 som \left(x^{2}-2x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Udx i den første og -2 i den anden gruppe.

$$x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-2 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-2\right)\left(x-2\right)$$

Omskriv som et binomialt kvadrat.

$$\left(x-2\right)^{2}$$

For at finde Ligningsløsningen skal du løse x-2=0.

$$x=2$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Udtryk \frac{\sqrt{2}}{2}x som en enkelt brøk.

$$x^{2}+2\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}=8$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$x^{2}+2\left(\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}\right)^{2}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

For at hæve \frac{\sqrt{2}x}{2} i en potens skal både tælleren og nævneren hæves i potensen og så divideres.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Ophæv den største fælles faktor 2 i 4 og 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Kvadratet på \sqrt{2} er 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\times 2\right)=8$$

Multiplicer 4 og 2 for at få 8.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8\right)=8$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2 med \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Udvid \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Kvadratet på \sqrt{2} er 2.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Beregn 2 til potensen af 2, og få 4.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{4}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Divider 2x^{2} med 4 for at få \frac{1}{2}x^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{1}{2}x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Multiplicer 2 og \frac{1}{2} for at få 1.

$$x^{2}+x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Kvadratet på \sqrt{2} er 2.

$$x^{2}+x^{2}-4x\times 2+16=8$$

Multiplicer -4 og 2 for at få -8.

$$x^{2}+x^{2}-8x+16=8$$

Kombiner x^{2} og x^{2} for at få 2x^{2}.

$$2x^{2}-8x+16=8$$

Subtraher 8 fra begge sider.

$$2x^{2}-8x+16-8=0$$

Subtraher 8 fra 16 for at få 8.

$$2x^{2}-8x+8=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -8 med b og 8 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 2\times 8}}{2\times 2}$$

Kvadrér -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 2\times 8}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-8\times 8}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange 8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-64}}{2\times 2}$$

Adder 64 til -64.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{0}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 0.

$$x=-\frac{-8}{2\times 2}$$

Det modsatte af -8 er 8.

$$x=\frac{8}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{8}{4}$$

Divider 8 med 4.

$$x=2$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Udtryk \frac{\sqrt{2}}{2}x som en enkelt brøk.

$$x^{2}+2\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}=8$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$x^{2}+2\left(\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}\right)^{2}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

For at hæve \frac{\sqrt{2}x}{2} i en potens skal både tælleren og nævneren hæves i potensen og så divideres.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Ophæv den største fælles faktor 2 i 4 og 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Kvadratet på \sqrt{2} er 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\times 2\right)=8$$

Multiplicer 4 og 2 for at få 8.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8\right)=8$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2 med \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Udvid \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Kvadratet på \sqrt{2} er 2.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Beregn 2 til potensen af 2, og få 4.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{4}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Divider 2x^{2} med 4 for at få \frac{1}{2}x^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{1}{2}x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Multiplicer 2 og \frac{1}{2} for at få 1.

$$x^{2}+x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Kvadratet på \sqrt{2} er 2.

$$x^{2}+x^{2}-4x\times 2+16=8$$

Multiplicer -4 og 2 for at få -8.

$$x^{2}+x^{2}-8x+16=8$$

Kombiner x^{2} og x^{2} for at få 2x^{2}.

$$2x^{2}-8x+16=8$$

Subtraher 16 fra begge sider.

$$2x^{2}-8x=8-16$$

Subtraher 16 fra 8 for at få -8.

$$2x^{2}-8x=-8$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}-8x}{2}=-\frac{8}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{2}\right)x=-\frac{8}{2}$$

Divider -8 med 2.

$$x^{2}-4x=-\frac{8}{2}$$

Divider -8 med 2.

$$x^{2}-4x=-4$$

Divider -4, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -2. Adder derefter kvadratet af -2 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-4+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrér -2.

$$x^{2}-4x+4=-4+4$$

Adder -4 til 4.

$$x^{2}-4x+4=0$$

Faktor x^{2}-4x+4. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-2\right)^{2}=0$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkling.

$$x-2=0 x-2=0$$

Adder 2 på begge sider af ligningen.

$$x=2 x=2$$

Ligningen er nu løst. Løsningerne er de samme.

$$x=2$$