Løs x^2+left(-3x+10right)^2=20

$${ x }^{ 2 } + { \left(-3x+10 \right) }^{ 2 } =20$$

Løs for x

$$x=2$$

$$x=4$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(-3x+10\right)^{2}.

$$x^{2}+9x^{2}-60x+100=20$$

Kombiner x^{2} og 9x^{2} for at få 10x^{2}.

$$10x^{2}-60x+100=20$$

Subtraher 20 fra begge sider.

$$10x^{2}-60x+100-20=0$$

Subtraher 20 fra 100 for at få 80.

$$10x^{2}-60x+80=0$$

Divider begge sider med 10.

$$x^{2}-6x+8=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som x^{2}+ax+bx+8. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-6 ab=1\times 8=8$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

Løsningen er det par, der får summen -6.

$$a=-4 b=-2$$

Omskriv x^{2}-6x+8 som \left(x^{2}-4x\right)+\left(-2x+8\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(-2x+8\right)$$

Udx i den første og -2 i den anden gruppe.

$$x\left(x-4\right)-2\left(x-4\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-4 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-4\right)\left(x-2\right)$$

Løs x-4=0 og x-2=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=4 x=2$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(-3x+10\right)^{2}.

$$x^{2}+9x^{2}-60x+100=20$$

Kombiner x^{2} og 9x^{2} for at få 10x^{2}.

$$10x^{2}-60x+100=20$$

Subtraher 20 fra begge sider.

$$10x^{2}-60x+100-20=0$$

Subtraher 20 fra 100 for at få 80.

$$10x^{2}-60x+80=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 10 med a, -60 med b og 80 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{\left(-60\right)^{2}-4\times 10\times 80}}{2\times 10}$$

Kvadrér -60.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-4\times 10\times 80}}{2\times 10}$$

Multiplicer -4 gange 10.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-40\times 80}}{2\times 10}$$

Multiplicer -40 gange 80.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-3200}}{2\times 10}$$

Adder 3600 til -3200.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{400}}{2\times 10}$$

Tag kvadratroden af 400.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±20}{2\times 10}$$

Det modsatte af -60 er 60.

$$x=\frac{60±20}{2\times 10}$$

Multiplicer 2 gange 10.

$$x=\frac{60±20}{20}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{60±20}{20} når ± er plus. Adder 60 til 20.

$$x=\frac{80}{20}$$

Divider 80 med 20.

$$x=4$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{60±20}{20} når ± er minus. Subtraher 20 fra 60.

$$x=\frac{40}{20}$$

Divider 40 med 20.

$$x=2$$

Ligningen er nu løst.

$$x=4 x=2$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(-3x+10\right)^{2}.

$$x^{2}+9x^{2}-60x+100=20$$

Kombiner x^{2} og 9x^{2} for at få 10x^{2}.

$$10x^{2}-60x+100=20$$

Subtraher 100 fra begge sider.

$$10x^{2}-60x=20-100$$

Subtraher 100 fra 20 for at få -80.

$$10x^{2}-60x=-80$$

Divider begge sider med 10.

$$\frac{10x^{2}-60x}{10}=-\frac{80}{10}$$

Division med 10 annullerer multiplikationen med 10.

$$x^{2}+\left(-\frac{60}{10}\right)x=-\frac{80}{10}$$

Divider -60 med 10.

$$x^{2}-6x=-\frac{80}{10}$$

Divider -80 med 10.

$$x^{2}-6x=-8$$

Divider -6, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -3. Adder derefter kvadratet af -3 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-8+\left(-3\right)^{2}$$

Kvadrér -3.

$$x^{2}-6x+9=-8+9$$

Adder -8 til 9.

$$x^{2}-6x+9=1$$

Faktor x^{2}-6x+9. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-3\right)^{2}=1$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Forenkling.

$$x-3=1 x-3=-1$$

Adder 3 på begge sider af ligningen.

$$x=4 x=2$$