Løs t^2-109t+900=0

$${ t }^{ 2 } -109t+900 = 0$$

Løs for t

$$t=9$$

$$t=100$$

Vejledning i faktorisering

Faktor t^{2}-109t+900 ved hjælp af formel t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right) for at løse ligningen. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-109 ab=900$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 900.

$$-1,-900 -2,-450 -3,-300 -4,-225 -5,-180 -6,-150 -9,-100 -10,-90 -12,-75 -15,-60 -18,-50 -20,-45 -25,-36 -30,-30$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-900=-901 -2-450=-452 -3-300=-303 -4-225=-229 -5-180=-185 -6-150=-156 -9-100=-109 -10-90=-100 -12-75=-87 -15-60=-75 -18-50=-68 -20-45=-65 -25-36=-61 -30-30=-60$$

Løsningen er det par, der får summen -109.

$$a=-100 b=-9$$

Omskriv det faktoriserede udtryk \left(t+a\right)\left(t+b\right) ved hjælp af de opnåede værdier.

$$\left(t-100\right)\left(t-9\right)$$

Løs t-100=0 og t-9=0 for at finde Lignings løsninger.

$$t=100 t=9$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som t^{2}+at+bt+900. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-109 ab=1\times 900=900$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 900.

$$-1,-900 -2,-450 -3,-300 -4,-225 -5,-180 -6,-150 -9,-100 -10,-90 -12,-75 -15,-60 -18,-50 -20,-45 -25,-36 -30,-30$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-900=-901 -2-450=-452 -3-300=-303 -4-225=-229 -5-180=-185 -6-150=-156 -9-100=-109 -10-90=-100 -12-75=-87 -15-60=-75 -18-50=-68 -20-45=-65 -25-36=-61 -30-30=-60$$

Løsningen er det par, der får summen -109.

$$a=-100 b=-9$$

Omskriv t^{2}-109t+900 som \left(t^{2}-100t\right)+\left(-9t+900\right).

$$\left(t^{2}-100t\right)+\left(-9t+900\right)$$

Udt i den første og -9 i den anden gruppe.

$$t\left(t-100\right)-9\left(t-100\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet t-100 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(t-100\right)\left(t-9\right)$$

Løs t-100=0 og t-9=0 for at finde Lignings løsninger.

$$t=100 t=9$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$t^{2}-109t+900=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -109 med b og 900 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{\left(-109\right)^{2}-4\times 900}}{2}$$

Kvadrér -109.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{11881-4\times 900}}{2}$$

Multiplicer -4 gange 900.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{11881-3600}}{2}$$

Adder 11881 til -3600.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{8281}}{2}$$

Tag kvadratroden af 8281.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±91}{2}$$

Det modsatte af -109 er 109.

$$t=\frac{109±91}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, t=\frac{109±91}{2} når ± er plus. Adder 109 til 91.

$$t=\frac{200}{2}$$

Divider 200 med 2.

$$t=100$$

Nu skal du løse ligningen, t=\frac{109±91}{2} når ± er minus. Subtraher 91 fra 109.

$$t=\frac{18}{2}$$

Divider 18 med 2.

$$t=9$$

Ligningen er nu løst.

$$t=100 t=9$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$t^{2}-109t+900=0$$

Subtraher 900 fra begge sider af ligningen.

$$t^{2}-109t+900-900=-900$$

Hvis 900 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$t^{2}-109t=-900$$

Divider -109, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{109}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{109}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$t^{2}-109t+\left(-\frac{109}{2}\right)^{2}=-900+\left(-\frac{109}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{109}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$t^{2}-109t+\frac{11881}{4}=-900+\frac{11881}{4}$$

Adder -900 til \frac{11881}{4}.

$$t^{2}-109t+\frac{11881}{4}=\frac{8281}{4}$$

Faktor t^{2}-109t+\frac{11881}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(t-\frac{109}{2}\right)^{2}=\frac{8281}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(t-\frac{109}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8281}{4}}$$

Forenkling.

$$t-\frac{109}{2}=\frac{91}{2} t-\frac{109}{2}=-\frac{91}{2}$$

Adder \frac{109}{2} på begge sider af ligningen.

$$t=100 t=9$$