Løs c^2-8c+19=0

$${ c }^{ 2 } -8c+19=0$$

Løs for c

$$c=4+\sqrt{3}i\approx 4+1,732050808i$$

$$c=-\sqrt{3}i+4\approx 4-1,732050808i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$c^{2}-8c+19=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -8 med b og 19 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$c=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 19}}{2}$$

Kvadrér -8.

$$c=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 19}}{2}$$

Multiplicer -4 gange 19.

$$c=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-76}}{2}$$

Adder 64 til -76.

$$c=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{-12}}{2}$$

Tag kvadratroden af -12.

$$c=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{3}i}{2}$$

Det modsatte af -8 er 8.

$$c=\frac{8±2\sqrt{3}i}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, c=\frac{8±2\sqrt{3}i}{2} når ± er plus. Adder 8 til 2i\sqrt{3}.

$$c=\frac{8+2\sqrt{3}i}{2}$$

Divider 8+2i\sqrt{3} med 2.

$$c=4+\sqrt{3}i$$

Nu skal du løse ligningen, c=\frac{8±2\sqrt{3}i}{2} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{3} fra 8.

$$c=\frac{-2\sqrt{3}i+8}{2}$$

Divider 8-2i\sqrt{3} med 2.

$$c=-\sqrt{3}i+4$$

Ligningen er nu løst.

$$c=4+\sqrt{3}i c=-\sqrt{3}i+4$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$c^{2}-8c+19=0$$

Subtraher 19 fra begge sider af ligningen.

$$c^{2}-8c+19-19=-19$$

Hvis 19 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$c^{2}-8c=-19$$

Divider -8, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -4. Adder derefter kvadratet af -4 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$c^{2}-8c+\left(-4\right)^{2}=-19+\left(-4\right)^{2}$$

Kvadrér -4.

$$c^{2}-8c+16=-19+16$$

Adder -19 til 16.

$$c^{2}-8c+16=-3$$

Faktor c^{2}-8c+16. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(c-4\right)^{2}=-3$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(c-4\right)^{2}}=\sqrt{-3}$$

Forenkling.

$$c-4=\sqrt{3}i c-4=-\sqrt{3}i$$

Adder 4 på begge sider af ligningen.

$$c=4+\sqrt{3}i c=-\sqrt{3}i+4$$