Løs 4^2-4x(5-x)=0

$${ 4 }^{ 2 } -4x(5-x)=0$$

Løs for x

$$x=1$$

$$x=4$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Beregn 4 til potensen af 2, og få 16.

$$16-4x\left(5-x\right)=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -4x med 5-x.

$$16-20x+4x^{2}=0$$

Divider begge sider med 4.

$$4-5x+x^{2}=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$x^{2}-5x+4=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som x^{2}+ax+bx+4. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-5 ab=1\times 4=4$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Løsningen er det par, der får summen -5.

$$a=-4 b=-1$$

Omskriv x^{2}-5x+4 som \left(x^{2}-4x\right)+\left(-x+4\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(-x+4\right)$$

Udx i den første og -1 i den anden gruppe.

$$x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-4 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Løs x-4=0 og x-1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=4 x=1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Beregn 4 til potensen af 2, og få 16.

$$16-4x\left(5-x\right)=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -4x med 5-x.

$$16-20x+4x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}-20x+16=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -20 med b og 16 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\times 16}}{2\times 4}$$

Kvadrér -20.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 4\times 16}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-16\times 16}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange 16.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-256}}{2\times 4}$$

Adder 400 til -256.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 144.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±12}{2\times 4}$$

Det modsatte af -20 er 20.

$$x=\frac{20±12}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{20±12}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{20±12}{8} når ± er plus. Adder 20 til 12.

$$x=\frac{32}{8}$$

Divider 32 med 8.

$$x=4$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{20±12}{8} når ± er minus. Subtraher 12 fra 20.

$$x=\frac{8}{8}$$

Divider 8 med 8.

$$x=1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=4 x=1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Beregn 4 til potensen af 2, og få 16.

$$16-4x\left(5-x\right)=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -4x med 5-x.

$$16-20x+4x^{2}=0$$

Subtraher 16 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$-20x+4x^{2}=-16$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}-20x=-16$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}-20x}{4}=-\frac{16}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{4}\right)x=-\frac{16}{4}$$

Divider -20 med 4.

$$x^{2}-5x=-\frac{16}{4}$$

Divider -16 med 4.

$$x^{2}-5x=-4$$

Divider -5, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-4+\frac{25}{4}$$

Adder -4 til \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}$$

Adder \frac{5}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=4 x=1$$