Løs left(x+14right)^2-left(x+11right)^2=left(x-6right)^2

$${ \left(x+14 \right) }^{ 2 } - { \left(x+11 \right) }^{ 2 } = { \left(x-6 \right) }^{ 2 }$$

Løs for x

$$x=2\sqrt{30}+9\approx 19,95445115$$

$$x=9-2\sqrt{30}\approx -1,95445115$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+14\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+11\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

For at finde det modsatte af x^{2}+22x+121 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Kombiner x^{2} og -x^{2} for at få 0.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Kombiner 28x og -22x for at få 6x.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Subtraher 121 fra 196 for at få 75.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-6\right)^{2}.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Tilføj 12x på begge sider.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

Kombiner 6x og 12x for at få 18x.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Subtraher 36 fra begge sider.

$$18x+75-x^{2}-36=0$$

Subtraher 36 fra 75 for at få 39.

$$18x+39-x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+18x+39=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 18 med b og 39 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 18.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+4\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange 39.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+156}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 324 til 156.

$$x=\frac{-18±\sqrt{480}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 480.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2} når ± er plus. Adder -18 til 4\sqrt{30}.

$$x=\frac{4\sqrt{30}-18}{-2}$$

Divider -18+4\sqrt{30} med -2.

$$x=9-2\sqrt{30}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2} når ± er minus. Subtraher 4\sqrt{30} fra -18.

$$x=\frac{-4\sqrt{30}-18}{-2}$$

Divider -18-4\sqrt{30} med -2.

$$x=2\sqrt{30}+9$$

Ligningen er nu løst.

$$x=9-2\sqrt{30} x=2\sqrt{30}+9$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+14\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+11\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

For at finde det modsatte af x^{2}+22x+121 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Kombiner x^{2} og -x^{2} for at få 0.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Kombiner 28x og -22x for at få 6x.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Subtraher 121 fra 196 for at få 75.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-6\right)^{2}.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Tilføj 12x på begge sider.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

Kombiner 6x og 12x for at få 18x.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Subtraher 75 fra begge sider.

$$18x-x^{2}=36-75$$

Subtraher 75 fra 36 for at få -39.

$$18x-x^{2}=-39$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}+18x=-39$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+18x}{-1}=-\frac{39}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{18}{-1}x=-\frac{39}{-1}$$

Divider 18 med -1.

$$x^{2}-18x=-\frac{39}{-1}$$

Divider -39 med -1.

$$x^{2}-18x=39$$

Divider -18, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -9. Adder derefter kvadratet af -9 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-18x+\left(-9\right)^{2}=39+\left(-9\right)^{2}$$

Kvadrér -9.

$$x^{2}-18x+81=39+81$$

Adder 39 til 81.

$$x^{2}-18x+81=120$$

Faktoriser x^{2}-18x+81. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-9\right)^{2}=120$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-9\right)^{2}}=\sqrt{120}$$

Forenkling.

$$x-9=2\sqrt{30} x-9=-2\sqrt{30}$$

Adder 9 på begge sider af ligningen.

$$x=2\sqrt{30}+9 x=9-2\sqrt{30}$$