Løs left(3xright)^2-4x+1=0

$${ \left(3x \right) }^{ 2 } -4x+1=0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{2+\sqrt{5}i}{9}\approx 0,222222222+0,248451997i$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+2}{9}\approx 0,222222222-0,248451997i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Udvid \left(3x\right)^{2}.

$$3^{2}x^{2}-4x+1=0$$

Beregn 3 til potensen af 2, og få 9.

$$9x^{2}-4x+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 9 med a, -4 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 9}}{2\times 9}$$

Kvadrér -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 9}}{2\times 9}$$

Multiplicer -4 gange 9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-36}}{2\times 9}$$

Adder 16 til -36.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-20}}{2\times 9}$$

Tag kvadratroden af -20.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{5}i}{2\times 9}$$

Det modsatte af -4 er 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{5}i}{2\times 9}$$

Multiplicer 2 gange 9.

$$x=\frac{4±2\sqrt{5}i}{18}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±2\sqrt{5}i}{18} når ± er plus. Adder 4 til 2i\sqrt{5}.

$$x=\frac{4+2\sqrt{5}i}{18}$$

Divider 4+2i\sqrt{5} med 18.

$$x=\frac{2+\sqrt{5}i}{9}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±2\sqrt{5}i}{18} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{5} fra 4.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+4}{18}$$

Divider 4-2i\sqrt{5} med 18.

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+2}{9}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{2+\sqrt{5}i}{9} x=\frac{-\sqrt{5}i+2}{9}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Udvid \left(3x\right)^{2}.

$$3^{2}x^{2}-4x+1=0$$

Beregn 3 til potensen af 2, og få 9.

$$9x^{2}-4x+1=0$$

Subtraher 1 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$9x^{2}-4x=-1$$

Divider begge sider med 9.

$$\frac{9x^{2}-4x}{9}=-\frac{1}{9}$$

Division med 9 annullerer multiplikationen med 9.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x=-\frac{1}{9}$$

Divider -\frac{4}{9}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{2}{9}. Adder derefter kvadratet af -\frac{2}{9} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\left(-\frac{2}{9}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(-\frac{2}{9}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{2}{9} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81}=-\frac{1}{9}+\frac{4}{81}$$

Føj -\frac{1}{9} til \frac{4}{81} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81}=-\frac{5}{81}$$

Faktor x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{2}{9}\right)^{2}=-\frac{5}{81}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{9}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{81}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{2}{9}=\frac{\sqrt{5}i}{9} x-\frac{2}{9}=-\frac{\sqrt{5}i}{9}$$

Adder \frac{2}{9} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{2+\sqrt{5}i}{9} x=\frac{-\sqrt{5}i+2}{9}$$