Løs left(2x-5right)^2+x^2+6(2x-5)-12x+20=0

$${ \left(2x-5 \right) }^{ 2 } + { x }^{ 2 } +6(2x-5)-12x+20=0$$

Løs for x

$$x=1$$

$$x=3$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(2x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}-20x+25+x^{2}+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Kombiner 4x^{2} og x^{2} for at få 5x^{2}.

$$5x^{2}-20x+25+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 6 med 2x-5.

$$5x^{2}-20x+25+12x-30-12x+20=0$$

Kombiner -20x og 12x for at få -8x.

$$5x^{2}-8x+25-30-12x+20=0$$

Subtraher 30 fra 25 for at få -5.

$$5x^{2}-8x-5-12x+20=0$$

Kombiner -8x og -12x for at få -20x.

$$5x^{2}-20x-5+20=0$$

Tilføj -5 og 20 for at få 15.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

Divider begge sider med 5.

$$x^{2}-4x+3=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som x^{2}+ax+bx+3. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-4 ab=1\times 3=3$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Det eneste par af den slags er systemløsningen.

$$a=-3 b=-1$$

Omskriv x^{2}-4x+3 som \left(x^{2}-3x\right)+\left(-x+3\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-x+3\right)$$

Udx i den første og -1 i den anden gruppe.

$$x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-3\right)\left(x-1\right)$$

Løs x-3=0 og x-1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=3 x=1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(2x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}-20x+25+x^{2}+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Kombiner 4x^{2} og x^{2} for at få 5x^{2}.

$$5x^{2}-20x+25+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 6 med 2x-5.

$$5x^{2}-20x+25+12x-30-12x+20=0$$

Kombiner -20x og 12x for at få -8x.

$$5x^{2}-8x+25-30-12x+20=0$$

Subtraher 30 fra 25 for at få -5.

$$5x^{2}-8x-5-12x+20=0$$

Kombiner -8x og -12x for at få -20x.

$$5x^{2}-20x-5+20=0$$

Tilføj -5 og 20 for at få 15.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, -20 med b og 15 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Kvadrér -20.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-20\times 15}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange 15.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-300}}{2\times 5}$$

Adder 400 til -300.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{100}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af 100.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±10}{2\times 5}$$

Det modsatte af -20 er 20.

$$x=\frac{20±10}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{20±10}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{20±10}{10} når ± er plus. Adder 20 til 10.

$$x=\frac{30}{10}$$

Divider 30 med 10.

$$x=3$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{20±10}{10} når ± er minus. Subtraher 10 fra 20.

$$x=\frac{10}{10}$$

Divider 10 med 10.

$$x=1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=3 x=1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(2x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}-20x+25+x^{2}+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Kombiner 4x^{2} og x^{2} for at få 5x^{2}.

$$5x^{2}-20x+25+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 6 med 2x-5.

$$5x^{2}-20x+25+12x-30-12x+20=0$$

Kombiner -20x og 12x for at få -8x.

$$5x^{2}-8x+25-30-12x+20=0$$

Subtraher 30 fra 25 for at få -5.

$$5x^{2}-8x-5-12x+20=0$$

Kombiner -8x og -12x for at få -20x.

$$5x^{2}-20x-5+20=0$$

Tilføj -5 og 20 for at få 15.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

Subtraher 15 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$5x^{2}-20x=-15$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}-20x}{5}=-\frac{15}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{5}\right)x=-\frac{15}{5}$$

Divider -20 med 5.

$$x^{2}-4x=-\frac{15}{5}$$

Divider -15 med 5.

$$x^{2}-4x=-3$$

Divider -4, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -2. Adder derefter kvadratet af -2 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrér -2.

$$x^{2}-4x+4=-3+4$$

Adder -3 til 4.

$$x^{2}-4x+4=1$$

Faktor x^{2}-4x+4. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-2\right)^{2}=1$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Forenkling.

$$x-2=1 x-2=-1$$

Adder 2 på begge sider af ligningen.

$$x=3 x=1$$