Løs {left(05sqrt{3}xright)}^2+left(5-15xright)^2=left(1+xright)^2

$${ \left(05 \sqrt{ 3 } x \right) }^{ 2 } + { \left(5-15x \right) }^{ 2 } = { \left(1+x \right) }^{ 2 }$$

Løs for x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x=\frac{3}{7}\approx 0,428571429$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Multiplicer 0 og 5 for at få 0.

$$\left(0\sqrt{3}x\right)^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Ethvert tal gange nul giver nul.

$$0^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Beregn 0 til potensen af 2, og få 0.

$$0+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(5-15x\right)^{2}.

$$0+25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Tilføj 0 og 25 for at få 25.

$$25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(1+x\right)^{2}.

$$25-150x+225x^{2}=1+2x+x^{2}$$

Subtraher 1 fra begge sider.

$$25-150x+225x^{2}-1=2x+x^{2}$$

Subtraher 1 fra 25 for at få 24.

$$24-150x+225x^{2}=2x+x^{2}$$

Subtraher 2x fra begge sider.

$$24-150x+225x^{2}-2x=x^{2}$$

Kombiner -150x og -2x for at få -152x.

$$24-152x+225x^{2}=x^{2}$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$24-152x+225x^{2}-x^{2}=0$$

Kombiner 225x^{2} og -x^{2} for at få 224x^{2}.

$$24-152x+224x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$224x^{2}-152x+24=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 224 med a, -152 med b og 24 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{\left(-152\right)^{2}-4\times 224\times 24}}{2\times 224}$$

Kvadrér -152.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-4\times 224\times 24}}{2\times 224}$$

Multiplicer -4 gange 224.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-896\times 24}}{2\times 224}$$

Multiplicer -896 gange 24.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-21504}}{2\times 224}$$

Adder 23104 til -21504.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{1600}}{2\times 224}$$

Tag kvadratroden af 1600.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±40}{2\times 224}$$

Det modsatte af -152 er 152.

$$x=\frac{152±40}{2\times 224}$$

Multiplicer 2 gange 224.

$$x=\frac{152±40}{448}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{152±40}{448} når ± er plus. Adder 152 til 40.

$$x=\frac{192}{448}$$

Reducer fraktionen \frac{192}{448} til de laveste led ved at udtrække og annullere 64.

$$x=\frac{3}{7}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{152±40}{448} når ± er minus. Subtraher 40 fra 152.

$$x=\frac{112}{448}$$

Reducer fraktionen \frac{112}{448} til de laveste led ved at udtrække og annullere 112.

$$x=\frac{1}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{3}{7} x=\frac{1}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Multiplicer 0 og 5 for at få 0.

$$\left(0\sqrt{3}x\right)^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Ethvert tal gange nul giver nul.

$$0^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Beregn 0 til potensen af 2, og få 0.

$$0+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(5-15x\right)^{2}.

$$0+25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Tilføj 0 og 25 for at få 25.

$$25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(1+x\right)^{2}.

$$25-150x+225x^{2}=1+2x+x^{2}$$

Subtraher 2x fra begge sider.

$$25-150x+225x^{2}-2x=1+x^{2}$$

Kombiner -150x og -2x for at få -152x.

$$25-152x+225x^{2}=1+x^{2}$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$25-152x+225x^{2}-x^{2}=1$$

Kombiner 225x^{2} og -x^{2} for at få 224x^{2}.

$$25-152x+224x^{2}=1$$

Subtraher 25 fra begge sider.

$$-152x+224x^{2}=1-25$$

Subtraher 25 fra 1 for at få -24.

$$-152x+224x^{2}=-24$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$224x^{2}-152x=-24$$

Divider begge sider med 224.

$$\frac{224x^{2}-152x}{224}=-\frac{24}{224}$$

Division med 224 annullerer multiplikationen med 224.

$$x^{2}+\left(-\frac{152}{224}\right)x=-\frac{24}{224}$$

Reducer fraktionen \frac{-152}{224} til de laveste led ved at udtrække og annullere 8.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x=-\frac{24}{224}$$

Reducer fraktionen \frac{-24}{224} til de laveste led ved at udtrække og annullere 8.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x=-\frac{3}{28}$$

Divider -\frac{19}{28}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{19}{56}. Adder derefter kvadratet af -\frac{19}{56} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\left(-\frac{19}{56}\right)^{2}=-\frac{3}{28}+\left(-\frac{19}{56}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{19}{56} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136}=-\frac{3}{28}+\frac{361}{3136}$$

Føj -\frac{3}{28} til \frac{361}{3136} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136}=\frac{25}{3136}$$

Faktor x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{19}{56}\right)^{2}=\frac{25}{3136}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{3136}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{19}{56}=\frac{5}{56} x-\frac{19}{56}=-\frac{5}{56}$$

Adder \frac{19}{56} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{3}{7} x=\frac{1}{4}$$