Løs {left(1/3-sqrt{2}right)}^2

$${ \left( \frac{ 1 }{ 3- \sqrt{ 2 } } \right) }^{ 2 }$$

Evaluer

$$\frac{6\sqrt{2}+11}{49}\approx 0,397658804$$

Løsningsvejledning

Rationaliser \frac{1}{3-\sqrt{2}} ved at multiplicere tælleren og nævneren med 3+\sqrt{2}.

$$\left(\frac{3+\sqrt{2}}{\left(3-\sqrt{2}\right)\left(3+\sqrt{2}\right)}\right)^{2}$$

Overvej \left(3-\sqrt{2}\right)\left(3+\sqrt{2}\right). Multiplikation kan omdannes til differensen mellem kvadrater ved hjælp af reglen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{3+\sqrt{2}}{3^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}\right)^{2}$$

Kvadrér 3. Kvadrér \sqrt{2}.

$$\left(\frac{3+\sqrt{2}}{9-2}\right)^{2}$$

Subtraher 2 fra 9 for at få 7.

$$\left(\frac{3+\sqrt{2}}{7}\right)^{2}$$

For at hæve \frac{3+\sqrt{2}}{7} i en potens skal både tælleren og nævneren hæves i potensen og så divideres.

$$\frac{\left(3+\sqrt{2}\right)^{2}}{7^{2}}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(3+\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{9+6\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{7^{2}}$$

Kvadratet på \sqrt{2} er 2.

$$\frac{9+6\sqrt{2}+2}{7^{2}}$$

Tilføj 9 og 2 for at få 11.

$$\frac{11+6\sqrt{2}}{7^{2}}$$

Beregn 7 til potensen af 2, og få 49.

$$\frac{11+6\sqrt{2}}{49}$$