Løs left(u+1right)^2=2u^2+5u+3

$${ \left( u+1 \right) }^{ 2 } =2 { u }^{ 2 } +5u+3$$

Løs for u

$$u=-1$$

$$u=-2$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(u+1\right)^{2}.

$$u^{2}+2u+1=2u^{2}+5u+3$$

Subtraher 2u^{2} fra begge sider.

$$u^{2}+2u+1-2u^{2}=5u+3$$

Kombiner u^{2} og -2u^{2} for at få -u^{2}.

$$-u^{2}+2u+1=5u+3$$

Subtraher 5u fra begge sider.

$$-u^{2}+2u+1-5u=3$$

Kombiner 2u og -5u for at få -3u.

$$-u^{2}-3u+1=3$$

Subtraher 3 fra begge sider.

$$-u^{2}-3u+1-3=0$$

Subtraher 3 fra 1 for at få -2.

$$-u^{2}-3u-2=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktorisere venstre side ved at gruppere. Først skal venstre side omskrives som -u^{2}+au+bu-2. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-3 ab=-\left(-2\right)=2$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Det eneste par af den slags er systemløsningen.

$$a=-1 b=-2$$

Omskriv -u^{2}-3u-2 som \left(-u^{2}-u\right)+\left(-2u-2\right).

$$\left(-u^{2}-u\right)+\left(-2u-2\right)$$

Udfaktoriser u i den første og 2 i den anden gruppe.

$$u\left(-u-1\right)+2\left(-u-1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet -u-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(-u-1\right)\left(u+2\right)$$

Løs -u-1=0 og u+2=0 for at finde Lignings løsninger.

$$u=-1 u=-2$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(u+1\right)^{2}.

$$u^{2}+2u+1=2u^{2}+5u+3$$

Subtraher 2u^{2} fra begge sider.

$$u^{2}+2u+1-2u^{2}=5u+3$$

Kombiner u^{2} og -2u^{2} for at få -u^{2}.

$$-u^{2}+2u+1=5u+3$$

Subtraher 5u fra begge sider.

$$-u^{2}+2u+1-5u=3$$

Kombiner 2u og -5u for at få -3u.

$$-u^{2}-3u+1=3$$

Subtraher 3 fra begge sider.

$$-u^{2}-3u+1-3=0$$

Subtraher 3 fra 1 for at få -2.

$$-u^{2}-3u-2=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, -3 med b og -2 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér -3.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+4\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange -2.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 9 til -8.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{1}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 1.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±1}{2\left(-1\right)}$$

Det modsatte af -3 er 3.

$$u=\frac{3±1}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$u=\frac{3±1}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, u=\frac{3±1}{-2} når ± er plus. Adder 3 til 1.

$$u=\frac{4}{-2}$$

Divider 4 med -2.

$$u=-2$$

Nu skal du løse ligningen, u=\frac{3±1}{-2} når ± er minus. Subtraher 1 fra 3.

$$u=\frac{2}{-2}$$

Divider 2 med -2.

$$u=-1$$

Ligningen er nu løst.

$$u=-2 u=-1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(u+1\right)^{2}.

$$u^{2}+2u+1=2u^{2}+5u+3$$

Subtraher 2u^{2} fra begge sider.

$$u^{2}+2u+1-2u^{2}=5u+3$$

Kombiner u^{2} og -2u^{2} for at få -u^{2}.

$$-u^{2}+2u+1=5u+3$$

Subtraher 5u fra begge sider.

$$-u^{2}+2u+1-5u=3$$

Kombiner 2u og -5u for at få -3u.

$$-u^{2}-3u+1=3$$

Subtraher 1 fra begge sider.

$$-u^{2}-3u=3-1$$

Subtraher 1 fra 3 for at få 2.

$$-u^{2}-3u=2$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-u^{2}-3u}{-1}=\frac{2}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$u^{2}+\left(-\frac{3}{-1}\right)u=\frac{2}{-1}$$

Divider -3 med -1.

$$u^{2}+3u=\frac{2}{-1}$$

Divider 2 med -1.

$$u^{2}+3u=-2$$

Divider 3, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$u^{2}+3u+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$u^{2}+3u+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Adder -2 til \frac{9}{4}.

$$u^{2}+3u+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Faktoriser u^{2}+3u+\frac{9}{4}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(u+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(u+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Forenkling.

$$u+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} u+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Subtraher \frac{3}{2} fra begge sider af ligningen.

$$u=-1 u=-2$$