Løs sqrt{x+6}-sqrt{9x+70}=-2sqrt{x+9}

$$\sqrt{ x+6 } - \sqrt{ 9x+70 } = -2 \sqrt{ x+9 }$$

Løs for x

$$x=-5$$

Løsningsvejledning

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(\sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(\sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x+6} til potensen af 2, og få x+6.

$$x+6-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{9x+70} til potensen af 2, og få 9x+70.

$$x+6-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+9x+70=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Kombiner x og 9x for at få 10x.

$$10x+6-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+70=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Tilføj 6 og 70 for at få 76.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Udvid \left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Beregn -2 til potensen af 2, og få 4.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4\left(\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x+9} til potensen af 2, og få x+9.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4\left(x+9\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4 med x+9.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4x+36$$

Subtraher 10x+76 fra begge sider af ligningen.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4x+36-\left(10x+76\right)$$

For at finde det modsatte af 10x+76 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4x+36-10x-76$$

Kombiner 4x og -10x for at få -6x.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=-6x+36-76$$

Subtraher 76 fra 36 for at få -40.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=-6x-40$$

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Udvid \left(-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Beregn -2 til potensen af 2, og få 4.

$$4\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x+6} til potensen af 2, og få x+6.

$$4\left(x+6\right)\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{9x+70} til potensen af 2, og få 9x+70.

$$4\left(x+6\right)\left(9x+70\right)=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4 med x+6.

$$\left(4x+24\right)\left(9x+70\right)=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Anvend fordelingsegenskaben ved at gange hvert led i 4x+24 med hvert led i 9x+70.

$$36x^{2}+280x+216x+1680=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Kombiner 280x og 216x for at få 496x.

$$36x^{2}+496x+1680=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(-6x-40\right)^{2}.

$$36x^{2}+496x+1680=36x^{2}+480x+1600$$

Subtraher 36x^{2} fra begge sider.

$$36x^{2}+496x+1680-36x^{2}=480x+1600$$

Kombiner 36x^{2} og -36x^{2} for at få 0.

$$496x+1680=480x+1600$$

Subtraher 480x fra begge sider.

$$496x+1680-480x=1600$$

Kombiner 496x og -480x for at få 16x.

$$16x+1680=1600$$

Subtraher 1680 fra begge sider.

$$16x=1600-1680$$

Subtraher 1680 fra 1600 for at få -80.

$$16x=-80$$

Divider begge sider med 16.

$$x=\frac{-80}{16}$$

Divider -80 med 16 for at få -5.

$$x=-5$$

Substituer x med -5 i ligningen \sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}=-2\sqrt{x+9}.

$$\sqrt{-5+6}-\sqrt{9\left(-5\right)+70}=-2\sqrt{-5+9}$$

Forenkling. Værdien x=-5 opfylder ligningen.

$$-4=-4$$

Ligningen \sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}=-2\sqrt{x+9} har en unik løsning.

$$x=-5$$