Løs sqrt{x+3}+sqrt{x+6}=sqrt{x+11}

$$\sqrt{ x+3 } + \sqrt{ x+6 } = \sqrt{ x+11 }$$

Løs for x

$$x=-2$$

Løsningsvejledning

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x+3} til potensen af 2, og få x+3.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x+6} til potensen af 2, og få x+6.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+x+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Kombiner x og x for at få 2x.

$$2x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Tilføj 3 og 6 for at få 9.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x+11} til potensen af 2, og få x+11.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11$$

Subtraher 2x+9 fra begge sider af ligningen.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-\left(2x+9\right)$$

For at finde det modsatte af 2x+9 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-2x-9$$

Kombiner x og -2x for at få -x.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+11-9$$

Subtraher 9 fra 11 for at få 2.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+2$$

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Udvid \left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Beregn 2 til potensen af 2, og få 4.

$$4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x+3} til potensen af 2, og få x+3.

$$4\left(x+3\right)\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x+6} til potensen af 2, og få x+6.

$$4\left(x+3\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4 med x+3.

$$\left(4x+12\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Anvend fordelingsegenskaben ved at gange hvert led i 4x+12 med hvert led i x+6.

$$4x^{2}+24x+12x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Kombiner 24x og 12x for at få 36x.

$$4x^{2}+36x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(-x+2\right)^{2}.

$$4x^{2}+36x+72=x^{2}-4x+4$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$4x^{2}+36x+72-x^{2}=-4x+4$$

Kombiner 4x^{2} og -x^{2} for at få 3x^{2}.

$$3x^{2}+36x+72=-4x+4$$

Tilføj 4x på begge sider.

$$3x^{2}+36x+72+4x=4$$

Kombiner 36x og 4x for at få 40x.

$$3x^{2}+40x+72=4$$

Subtraher 4 fra begge sider.

$$3x^{2}+40x+72-4=0$$

Subtraher 4 fra 72 for at få 68.

$$3x^{2}+40x+68=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 3x^{2}+ax+bx+68. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=40 ab=3\times 68=204$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 204.

$$1,204 2,102 3,68 4,51 6,34 12,17$$

Beregn summen af hvert par.

$$1+204=205 2+102=104 3+68=71 4+51=55 6+34=40 12+17=29$$

Løsningen er det par, der får summen 40.

$$a=6 b=34$$

Omskriv 3x^{2}+40x+68 som \left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right).

$$\left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right)$$

Ud3x i den første og 34 i den anden gruppe.

$$3x\left(x+2\right)+34\left(x+2\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x+2 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x+2\right)\left(3x+34\right)$$

Løs x+2=0 og 3x+34=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=-2 x=-\frac{34}{3}$$

Substituer x med -\frac{34}{3} i ligningen \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}. Udtrykket \sqrt{-\frac{34}{3}+3} er ikke defineret, fordi radicand ikke kan være negativ.

$$\sqrt{-\frac{34}{3}+3}+\sqrt{-\frac{34}{3}+6}=\sqrt{-\frac{34}{3}+11}$$

Substituer x med -2 i ligningen \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}.

$$\sqrt{-2+3}+\sqrt{-2+6}=\sqrt{-2+11}$$

Forenkling. Værdien x=-2 opfylder ligningen.

$$3=3$$

Ligningen \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11} har en unik løsning.

$$x=-2$$