Løs sqrt{x}=x-1

$$\sqrt{ x } =x-1$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2,618033989$$

Løsningsvejledning

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x} til potensen af 2, og få x.

$$x=\left(x-1\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-1\right)^{2}.

$$x=x^{2}-2x+1$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$x-x^{2}=-2x+1$$

Tilføj 2x på begge sider.

$$x-x^{2}+2x=1$$

Kombiner x og 2x for at få 3x.

$$3x-x^{2}=1$$

Subtraher 1 fra begge sider.

$$3x-x^{2}-1=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+3x-1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 3 med b og -1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 9 til -4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} når ± er plus. Adder -3 til \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{-2}$$

Divider -3+\sqrt{5} med -2.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} når ± er minus. Subtraher \sqrt{5} fra -3.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{-2}$$

Divider -3-\sqrt{5} med -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Substituer x med \frac{3-\sqrt{5}}{2} i ligningen \sqrt{x}=x-1.

$$\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}-1$$

Forenkling. Værdien x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} opfylder ikke ligningen, fordi venstre og højre side har modsat fortegn.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Substituer x med \frac{\sqrt{5}+3}{2} i ligningen \sqrt{x}=x-1.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}=\frac{\sqrt{5}+3}{2}-1$$

Forenkling. Værdien x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} opfylder ligningen.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Ligningen \sqrt{x}=x-1 har en unik løsning.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$