Løs sqrt{4x+1}-sqrt{9x-2}=+(-1)

$$\sqrt{ 4x+1 } - \sqrt{ 9x-2 } = +(-1)$$

Løs for x

$$x=2$$

Løsningsvejledning

Subtraher -\sqrt{9x-2} fra begge sider af ligningen.

$$\sqrt{4x+1}=-1+\sqrt{9x-2}$$

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(\sqrt{4x+1}\right)^{2}=\left(-1+\sqrt{9x-2}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{4x+1} til potensen af 2, og få 4x+1.

$$4x+1=\left(-1+\sqrt{9x-2}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(-1+\sqrt{9x-2}\right)^{2}.

$$4x+1=1-2\sqrt{9x-2}+\left(\sqrt{9x-2}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{9x-2} til potensen af 2, og få 9x-2.

$$4x+1=1-2\sqrt{9x-2}+9x-2$$

Subtraher 2 fra 1 for at få -1.

$$4x+1=-1-2\sqrt{9x-2}+9x$$

Subtraher -1+9x fra begge sider af ligningen.

$$4x+1-\left(-1+9x\right)=-2\sqrt{9x-2}$$

For at finde det modsatte af -1+9x skal du finde det modsatte af hvert led.

$$4x+1+1-9x=-2\sqrt{9x-2}$$

Tilføj 1 og 1 for at få 2.

$$4x+2-9x=-2\sqrt{9x-2}$$

Kombiner 4x og -9x for at få -5x.

$$-5x+2=-2\sqrt{9x-2}$$

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(-5x+2\right)^{2}=\left(-2\sqrt{9x-2}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(-5x+2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4=\left(-2\sqrt{9x-2}\right)^{2}$$

Udvid \left(-2\sqrt{9x-2}\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{9x-2}\right)^{2}$$

Beregn -2 til potensen af 2, og få 4.

$$25x^{2}-20x+4=4\left(\sqrt{9x-2}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{9x-2} til potensen af 2, og få 9x-2.

$$25x^{2}-20x+4=4\left(9x-2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4 med 9x-2.

$$25x^{2}-20x+4=36x-8$$

Subtraher 36x fra begge sider.

$$25x^{2}-20x+4-36x=-8$$

Kombiner -20x og -36x for at få -56x.

$$25x^{2}-56x+4=-8$$

Tilføj 8 på begge sider.

$$25x^{2}-56x+4+8=0$$

Tilføj 4 og 8 for at få 12.

$$25x^{2}-56x+12=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 25x^{2}+ax+bx+12. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-56 ab=25\times 12=300$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 300.

$$-1,-300 -2,-150 -3,-100 -4,-75 -5,-60 -6,-50 -10,-30 -12,-25 -15,-20$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-300=-301 -2-150=-152 -3-100=-103 -4-75=-79 -5-60=-65 -6-50=-56 -10-30=-40 -12-25=-37 -15-20=-35$$

Løsningen er det par, der får summen -56.

$$a=-50 b=-6$$

Omskriv 25x^{2}-56x+12 som \left(25x^{2}-50x\right)+\left(-6x+12\right).

$$\left(25x^{2}-50x\right)+\left(-6x+12\right)$$

Ud25x i den første og -6 i den anden gruppe.

$$25x\left(x-2\right)-6\left(x-2\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-2 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-2\right)\left(25x-6\right)$$

Løs x-2=0 og 25x-6=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=2 x=\frac{6}{25}$$

Substituer x med 2 i ligningen \sqrt{4x+1}-\sqrt{9x-2}=-1.

$$\sqrt{4\times 2+1}-\sqrt{9\times 2-2}=-1$$

Forenkling. Værdien x=2 opfylder ligningen.

$$-1=-1$$

Substituer x med \frac{6}{25} i ligningen \sqrt{4x+1}-\sqrt{9x-2}=-1.

$$\sqrt{4\times \frac{6}{25}+1}-\sqrt{9\times \frac{6}{25}-2}=-1$$

Forenkling. Værdien x=\frac{6}{25} opfylder ikke ligningen, fordi venstre og højre side har modsat fortegn.

$$1=-1$$

Substituer x med 2 i ligningen \sqrt{4x+1}-\sqrt{9x-2}=-1.

$$\sqrt{4\times 2+1}-\sqrt{9\times 2-2}=-1$$

Forenkling. Værdien x=2 opfylder ligningen.

$$-1=-1$$

Ligningen \sqrt{4x+1}=\sqrt{9x-2}-1 har en unik løsning.

$$x=2$$