Løs sqrt{4+2x-x^2}=x-2

$$\sqrt{ 4+2x- { x }^{ 2 } } =x-2$$

Løs for x

$$x=3$$

Løsningsvejledning

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(\sqrt{4+2x-x^{2}}\right)^{2}=\left(x-2\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{4+2x-x^{2}} til potensen af 2, og få 4+2x-x^{2}.

$$4+2x-x^{2}=\left(x-2\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-2\right)^{2}.

$$4+2x-x^{2}=x^{2}-4x+4$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$4+2x-x^{2}-x^{2}=-4x+4$$

Kombiner -x^{2} og -x^{2} for at få -2x^{2}.

$$4+2x-2x^{2}=-4x+4$$

Tilføj 4x på begge sider.

$$4+2x-2x^{2}+4x=4$$

Kombiner 2x og 4x for at få 6x.

$$4+6x-2x^{2}=4$$

Subtraher 4 fra begge sider.

$$4+6x-2x^{2}-4=0$$

Subtraher 4 fra 4 for at få 0.

$$6x-2x^{2}=0$$

Udfaktoriser x.

$$x\left(6-2x\right)=0$$

Løs x=0 og 6-2x=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=0 x=3$$

Substituer x med 0 i ligningen \sqrt{4+2x-x^{2}}=x-2.

$$\sqrt{4+2\times 0-0^{2}}=0-2$$

Forenkling. Værdien x=0 opfylder ikke ligningen, fordi venstre og højre side har modsat fortegn.

$$2=-2$$

Substituer x med 3 i ligningen \sqrt{4+2x-x^{2}}=x-2.

$$\sqrt{4+2\times 3-3^{2}}=3-2$$

Forenkling. Værdien x=3 opfylder ligningen.

$$1=1$$

Ligningen \sqrt{4+2x-x^{2}}=x-2 har en unik løsning.

$$x=3$$