Løs sqrt{2x-3}+sqrt{4x+1}=4

$$\sqrt{ 2x-3 } + \sqrt{ 4x+1 } =4$$

Løs for x

$$x=2$$

Løsningsvejledning

Subtraher \sqrt{4x+1} fra begge sider af ligningen.

$$\sqrt{2x-3}=4-\sqrt{4x+1}$$

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(4-\sqrt{4x+1}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{2x-3} til potensen af 2, og få 2x-3.

$$2x-3=\left(4-\sqrt{4x+1}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(4-\sqrt{4x+1}\right)^{2}.

$$2x-3=16-8\sqrt{4x+1}+\left(\sqrt{4x+1}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{4x+1} til potensen af 2, og få 4x+1.

$$2x-3=16-8\sqrt{4x+1}+4x+1$$

Tilføj 16 og 1 for at få 17.

$$2x-3=17-8\sqrt{4x+1}+4x$$

Subtraher 17+4x fra begge sider af ligningen.

$$2x-3-\left(17+4x\right)=-8\sqrt{4x+1}$$

For at finde det modsatte af 17+4x skal du finde det modsatte af hvert led.

$$2x-3-17-4x=-8\sqrt{4x+1}$$

Subtraher 17 fra -3 for at få -20.

$$2x-20-4x=-8\sqrt{4x+1}$$

Kombiner 2x og -4x for at få -2x.

$$-2x-20=-8\sqrt{4x+1}$$

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(-2x-20\right)^{2}=\left(-8\sqrt{4x+1}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(-2x-20\right)^{2}.

$$4x^{2}+80x+400=\left(-8\sqrt{4x+1}\right)^{2}$$

Udvid \left(-8\sqrt{4x+1}\right)^{2}.

$$4x^{2}+80x+400=\left(-8\right)^{2}\left(\sqrt{4x+1}\right)^{2}$$

Beregn -8 til potensen af 2, og få 64.

$$4x^{2}+80x+400=64\left(\sqrt{4x+1}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{4x+1} til potensen af 2, og få 4x+1.

$$4x^{2}+80x+400=64\left(4x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 64 med 4x+1.

$$4x^{2}+80x+400=256x+64$$

Subtraher 256x fra begge sider.

$$4x^{2}+80x+400-256x=64$$

Kombiner 80x og -256x for at få -176x.

$$4x^{2}-176x+400=64$$

Subtraher 64 fra begge sider.

$$4x^{2}-176x+400-64=0$$

Subtraher 64 fra 400 for at få 336.

$$4x^{2}-176x+336=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -176 med b og 336 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{\left(-176\right)^{2}-4\times 4\times 336}}{2\times 4}$$

Kvadrér -176.

$$x=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{30976-4\times 4\times 336}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{30976-16\times 336}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange 336.

$$x=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{30976-5376}}{2\times 4}$$

Adder 30976 til -5376.

$$x=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{25600}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 25600.

$$x=\frac{-\left(-176\right)±160}{2\times 4}$$

Det modsatte af -176 er 176.

$$x=\frac{176±160}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{176±160}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{176±160}{8} når ± er plus. Adder 176 til 160.

$$x=\frac{336}{8}$$

Divider 336 med 8.

$$x=42$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{176±160}{8} når ± er minus. Subtraher 160 fra 176.

$$x=\frac{16}{8}$$

Divider 16 med 8.

$$x=2$$

Ligningen er nu løst.

$$x=42 x=2$$

Substituer x med 42 i ligningen \sqrt{2x-3}+\sqrt{4x+1}=4.

$$\sqrt{2\times 42-3}+\sqrt{4\times 42+1}=4$$

Forenkling. Den værdi, x=42, ikke opfylder ligningen.

$$22=4$$

Substituer x med 2 i ligningen \sqrt{2x-3}+\sqrt{4x+1}=4.

$$\sqrt{2\times 2-3}+\sqrt{4\times 2+1}=4$$

Forenkling. Værdien x=2 opfylder ligningen.

$$4=4$$

Ligningen \sqrt{2x-3}=-\sqrt{4x+1}+4 har en unik løsning.

$$x=2$$