Løs sqrt{2x-3}=2+sqrt{x-5}

$$\sqrt{ 2x-3 } = 2+ \sqrt{ x-5 }$$

Løs for x

$$x=14$$

$$x=6$$

Løsningsvejledning

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{2x-3} til potensen af 2, og få 2x-3.

$$2x-3=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x-5} til potensen af 2, og få x-5.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+x-5$$

Subtraher 5 fra 4 for at få -1.

$$2x-3=-1+4\sqrt{x-5}+x$$

Subtraher -1+x fra begge sider af ligningen.

$$2x-3-\left(-1+x\right)=4\sqrt{x-5}$$

For at finde det modsatte af -1+x skal du finde det modsatte af hvert led.

$$2x-3+1-x=4\sqrt{x-5}$$

Tilføj -3 og 1 for at få -2.

$$2x-2-x=4\sqrt{x-5}$$

Kombiner 2x og -x for at få x.

$$x-2=4\sqrt{x-5}$$

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(x-2\right)^{2}=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Udvid \left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=4^{2}\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Beregn 4 til potensen af 2, og få 16.

$$x^{2}-4x+4=16\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x-5} til potensen af 2, og få x-5.

$$x^{2}-4x+4=16\left(x-5\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 16 med x-5.

$$x^{2}-4x+4=16x-80$$

Subtraher 16x fra begge sider.

$$x^{2}-4x+4-16x=-80$$

Kombiner -4x og -16x for at få -20x.

$$x^{2}-20x+4=-80$$

Tilføj 80 på begge sider.

$$x^{2}-20x+4+80=0$$

Tilføj 4 og 80 for at få 84.

$$x^{2}-20x+84=0$$

Faktor x^{2}-20x+84 ved hjælp af formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) for at løse ligningen. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-20 ab=84$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 84.

$$-1,-84 -2,-42 -3,-28 -4,-21 -6,-14 -7,-12$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-84=-85 -2-42=-44 -3-28=-31 -4-21=-25 -6-14=-20 -7-12=-19$$

Løsningen er det par, der får summen -20.

$$a=-14 b=-6$$

Omskriv det faktoriserede udtryk \left(x+a\right)\left(x+b\right) ved hjælp af de opnåede værdier.

$$\left(x-14\right)\left(x-6\right)$$

Løs x-14=0 og x-6=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=14 x=6$$

Substituer x med 14 i ligningen \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5}.

$$\sqrt{2\times 14-3}=2+\sqrt{14-5}$$

Forenkling. Værdien x=14 opfylder ligningen.

$$5=5$$

Substituer x med 6 i ligningen \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5}.

$$\sqrt{2\times 6-3}=2+\sqrt{6-5}$$

Forenkling. Værdien x=6 opfylder ligningen.

$$3=3$$

Vis alle løsninger af \sqrt{2x-3}=\sqrt{x-5}+2.

$$x=14 x=6$$