Løs sqrt{1div2+1div4+1div8+1div16+1div2x}=x

$$\sqrt{ 1 \div 2+1 \div 4+1 \div 8+1 \div 16+1 \div 2x } =x$$

Løs for x

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Løsningsvejledning

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Mindste fælles multiplum af 2 og 4 er 4. Konverter \frac{1}{2} og \frac{1}{4} til brøken med 4 som nævner.

$$\left(\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Da \frac{2}{4} og \frac{1}{4} har den samme fællesnævner, skal du addere dem ved at tilføje deres tællere.

$$\left(\sqrt{\frac{2+1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Tilføj 2 og 1 for at få 3.

$$\left(\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Mindste fælles multiplum af 4 og 8 er 8. Konverter \frac{3}{4} og \frac{1}{8} til brøken med 8 som nævner.

$$\left(\sqrt{\frac{6}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Da \frac{6}{8} og \frac{1}{8} har den samme fællesnævner, skal du addere dem ved at tilføje deres tællere.

$$\left(\sqrt{\frac{6+1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Tilføj 6 og 1 for at få 7.

$$\left(\sqrt{\frac{7}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Mindste fælles multiplum af 8 og 16 er 16. Konverter \frac{7}{8} og \frac{1}{16} til brøken med 16 som nævner.

$$\left(\sqrt{\frac{14}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Da \frac{14}{16} og \frac{1}{16} har den samme fællesnævner, skal du addere dem ved at tilføje deres tællere.

$$\left(\sqrt{\frac{14+1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Tilføj 14 og 1 for at få 15.

$$\left(\sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Beregn \sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x} til potensen af 2, og få \frac{15}{16}+\frac{1}{2}x.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x=x^{2}$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x-x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{15}{16}=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, \frac{1}{2} med b og \frac{15}{16} med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+4\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange \frac{15}{16}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1+15}{4}}}{2\left(-1\right)}$$

Føj \frac{1}{4} til \frac{15}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{4}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 4.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} når ± er plus. Adder -\frac{1}{2} til 2.

$$x=\frac{\frac{3}{2}}{-2}$$

Divider \frac{3}{2} med -2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} når ± er minus. Subtraher 2 fra -\frac{1}{2}.

$$x=-\frac{\frac{5}{2}}{-2}$$

Divider -\frac{5}{2} med -2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-\frac{3}{4} x=\frac{5}{4}$$

Substituer x med -\frac{3}{4} i ligningen \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)}=-\frac{3}{4}$$

Forenkling. Værdien x=-\frac{3}{4} opfylder ikke ligningen, fordi venstre og højre side har modsat fortegn.

$$\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}$$

Substituer x med \frac{5}{4} i ligningen \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\times \frac{5}{4}}=\frac{5}{4}$$

Forenkling. Værdien x=\frac{5}{4} opfylder ligningen.

$$\frac{5}{4}=\frac{5}{4}$$

Ligningen \sqrt{\frac{x}{2}+\frac{15}{16}}=x har en unik løsning.

$$x=\frac{5}{4}$$