Løs sqrt{(2x-5)}-sqrt{(x-1)}=1

$$\sqrt{ (2x-5) } - \sqrt{ (x-1) } =1$$

Løs for x

$$x=2\sqrt{5}+7\approx 11,472135955$$

Løsningsvejledning

Subtraher -\sqrt{x-1} fra begge sider af ligningen.

$$\sqrt{2x-5}=1+\sqrt{x-1}$$

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(\sqrt{2x-5}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{2x-5} til potensen af 2, og få 2x-5.

$$2x-5=\left(1+\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(1+\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$2x-5=1+2\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x-1} til potensen af 2, og få x-1.

$$2x-5=1+2\sqrt{x-1}+x-1$$

Subtraher 1 fra 1 for at få 0.

$$2x-5=2\sqrt{x-1}+x$$

Subtraher x fra begge sider af ligningen.

$$2x-5-x=2\sqrt{x-1}$$

Kombiner 2x og -x for at få x.

$$x-5=2\sqrt{x-1}$$

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(x-5\right)^{2}=\left(2\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-5\right)^{2}.

$$x^{2}-10x+25=\left(2\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Udvid \left(2\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$x^{2}-10x+25=2^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Beregn 2 til potensen af 2, og få 4.

$$x^{2}-10x+25=4\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x-1} til potensen af 2, og få x-1.

$$x^{2}-10x+25=4\left(x-1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4 med x-1.

$$x^{2}-10x+25=4x-4$$

Subtraher 4x fra begge sider.

$$x^{2}-10x+25-4x=-4$$

Kombiner -10x og -4x for at få -14x.

$$x^{2}-14x+25=-4$$

Tilføj 4 på begge sider.

$$x^{2}-14x+25+4=0$$

Tilføj 25 og 4 for at få 29.

$$x^{2}-14x+29=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -14 med b og 29 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 29}}{2}$$

Kvadrér -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 29}}{2}$$

Multiplicer -4 gange 29.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-116}}{2}$$

Adder 196 til -116.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{80}}{2}$$

Tag kvadratroden af 80.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±4\sqrt{5}}{2}$$

Det modsatte af -14 er 14.

$$x=\frac{14±4\sqrt{5}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{14±4\sqrt{5}}{2} når ± er plus. Adder 14 til 4\sqrt{5}.

$$x=\frac{4\sqrt{5}+14}{2}$$

Divider 14+4\sqrt{5} med 2.

$$x=2\sqrt{5}+7$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{14±4\sqrt{5}}{2} når ± er minus. Subtraher 4\sqrt{5} fra 14.

$$x=\frac{14-4\sqrt{5}}{2}$$

Divider 14-4\sqrt{5} med 2.

$$x=7-2\sqrt{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=2\sqrt{5}+7 x=7-2\sqrt{5}$$

Substituer x med 2\sqrt{5}+7 i ligningen \sqrt{2x-5}-\sqrt{x-1}=1.

$$\sqrt{2\left(2\sqrt{5}+7\right)-5}-\sqrt{2\sqrt{5}+7-1}=1$$

Forenkling. Værdien x=2\sqrt{5}+7 opfylder ligningen.

$$1=1$$

Substituer x med 7-2\sqrt{5} i ligningen \sqrt{2x-5}-\sqrt{x-1}=1.

$$\sqrt{2\left(7-2\sqrt{5}\right)-5}-\sqrt{7-2\sqrt{5}-1}=1$$

Forenkling. Værdien x=7-2\sqrt{5} opfylder ikke ligningen, fordi venstre og højre side har modsat fortegn.

$$-1=1$$

Substituer x med 2\sqrt{5}+7 i ligningen \sqrt{2x-5}-\sqrt{x-1}=1.

$$\sqrt{2\left(2\sqrt{5}+7\right)-5}-\sqrt{2\sqrt{5}+7-1}=1$$

Forenkling. Værdien x=2\sqrt{5}+7 opfylder ligningen.

$$1=1$$

Ligningen \sqrt{2x-5}=\sqrt{x-1}+1 har en unik løsning.

$$x=2\sqrt{5}+7$$