Løs sqrt{x-1}-2=2sqrt{x+3}

$$\sqrt { x - 1 } - 2 = 2 \sqrt { x + 3 }$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}\approx -2,111111111-2,514157444i$$

Løsningsvejledning

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(\sqrt{x-1}-2\right)^{2}=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(\sqrt{x-1}-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}-4\sqrt{x-1}+4=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x-1} til potensen af 2, og få x-1.

$$x-1-4\sqrt{x-1}+4=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Tilføj -1 og 4 for at få 3.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Udvid \left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Beregn 2 til potensen af 2, og få 4.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x+3} til potensen af 2, og få x+3.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4\left(x+3\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4 med x+3.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4x+12$$

Subtraher x+3 fra begge sider af ligningen.

$$-4\sqrt{x-1}=4x+12-\left(x+3\right)$$

For at finde det modsatte af x+3 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$-4\sqrt{x-1}=4x+12-x-3$$

Kombiner 4x og -x for at få 3x.

$$-4\sqrt{x-1}=3x+12-3$$

Subtraher 3 fra 12 for at få 9.

$$-4\sqrt{x-1}=3x+9$$

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(-4\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

Udvid \left(-4\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

Beregn -4 til potensen af 2, og få 16.

$$16\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x-1} til potensen af 2, og få x-1.

$$16\left(x-1\right)=\left(3x+9\right)^{2}$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 16 med x-1.

$$16x-16=\left(3x+9\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(3x+9\right)^{2}.

$$16x-16=9x^{2}+54x+81$$

Subtraher 9x^{2} fra begge sider.

$$16x-16-9x^{2}=54x+81$$

Subtraher 54x fra begge sider.

$$16x-16-9x^{2}-54x=81$$

Kombiner 16x og -54x for at få -38x.

$$-38x-16-9x^{2}=81$$

Subtraher 81 fra begge sider.

$$-38x-16-9x^{2}-81=0$$

Subtraher 81 fra -16 for at få -97.

$$-38x-97-9x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-9x^{2}-38x-97=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -9 med a, -38 med b og -97 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{\left(-38\right)^{2}-4\left(-9\right)\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Kvadrér -38.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-4\left(-9\right)\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicer -4 gange -9.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444+36\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicer 36 gange -97.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-3492}}{2\left(-9\right)}$$

Adder 1444 til -3492.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{-2048}}{2\left(-9\right)}$$

Tag kvadratroden af -2048.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±32\sqrt{2}i}{2\left(-9\right)}$$

Det modsatte af -38 er 38.

$$x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicer 2 gange -9.

$$x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18} når ± er plus. Adder 38 til 32i\sqrt{2}.

$$x=\frac{38+32\sqrt{2}i}{-18}$$

Divider 38+32i\sqrt{2} med -18.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18} når ± er minus. Subtraher 32i\sqrt{2} fra 38.

$$x=\frac{-32\sqrt{2}i+38}{-18}$$

Divider 38-32i\sqrt{2} med -18.

$$x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}$$

Substituer x med \frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} i ligningen \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}+3}$$

Forenkling. Værdien x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} opfylder ligningen.

$$-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Substituer x med \frac{-19+16\sqrt{2}i}{9} i ligningen \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}+3}$$

Forenkling. Den værdi, x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}, ikke opfylder ligningen.

$$-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Substituer x med \frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} i ligningen \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}+3}$$

Forenkling. Værdien x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} opfylder ligningen.

$$-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Ligningen \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3} har en unik løsning.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}$$