Løs sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1}

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0,732050808$$

Løsningsvejledning

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x^{2}-1} til potensen af 2, og få x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{2x+1} til potensen af 2, og få 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Subtraher 2x fra begge sider.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Subtraher 1 fra begge sider.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Subtraher 1 fra -1 for at få -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -2 med b og -2 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Kvadrér -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Multiplicer -4 gange -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Adder 4 til 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Tag kvadratroden af 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Det modsatte af -2 er 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} når ± er plus. Adder 2 til 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Divider 2+2\sqrt{3} med 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{3} fra 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Divider 2-2\sqrt{3} med 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Substituer x med \sqrt{3}+1 i ligningen \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Forenkling. Værdien x=\sqrt{3}+1 opfylder ligningen.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Substituer x med 1-\sqrt{3} i ligningen \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Forenkling. Værdien x=1-\sqrt{3} opfylder ligningen.

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

Vis alle løsninger af \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Løs for x

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

Løsningsvejledning

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x^{2}-1} til potensen af 2, og få x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{2x+1} til potensen af 2, og få 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Subtraher 2x fra begge sider.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Subtraher 1 fra begge sider.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Subtraher 1 fra -1 for at få -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -2 med b og -2 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Kvadrér -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Multiplicer -4 gange -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Adder 4 til 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Tag kvadratroden af 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Det modsatte af -2 er 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} når ± er plus. Adder 2 til 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Divider 2+2\sqrt{3} med 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{3} fra 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Divider 2-2\sqrt{3} med 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Substituer x med \sqrt{3}+1 i ligningen \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Forenkling. Værdien x=\sqrt{3}+1 opfylder ligningen.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Substituer x med 1-\sqrt{3} i ligningen \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}. Udtrykket \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1} er ikke defineret, fordi radicand ikke kan være negativ.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Ligningen \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} har en unik løsning.

$$x=\sqrt{3}+1$$