Løs sqrt{x^2+2x+9}-7=2x

$$\sqrt { x ^ { 2 } + 2 x + 9 } - 7 = 2 x$$

Løs for x

$$x=-2$$

Løsningsvejledning

Subtraher -7 fra begge sider af ligningen.

$$\sqrt{x^{2}+2x+9}=2x+7$$

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(\sqrt{x^{2}+2x+9}\right)^{2}=\left(2x+7\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x^{2}+2x+9} til potensen af 2, og få x^{2}+2x+9.

$$x^{2}+2x+9=\left(2x+7\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(2x+7\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+9=4x^{2}+28x+49$$

Subtraher 4x^{2} fra begge sider.

$$x^{2}+2x+9-4x^{2}=28x+49$$

Kombiner x^{2} og -4x^{2} for at få -3x^{2}.

$$-3x^{2}+2x+9=28x+49$$

Subtraher 28x fra begge sider.

$$-3x^{2}+2x+9-28x=49$$

Kombiner 2x og -28x for at få -26x.

$$-3x^{2}-26x+9=49$$

Subtraher 49 fra begge sider.

$$-3x^{2}-26x+9-49=0$$

Subtraher 49 fra 9 for at få -40.

$$-3x^{2}-26x-40=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -3x^{2}+ax+bx-40. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-26 ab=-3\left(-40\right)=120$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Løsningen er det par, der får summen -26.

$$a=-6 b=-20$$

Omskriv -3x^{2}-26x-40 som \left(-3x^{2}-6x\right)+\left(-20x-40\right).

$$\left(-3x^{2}-6x\right)+\left(-20x-40\right)$$

Ud3x i den første og 20 i den anden gruppe.

$$3x\left(-x-2\right)+20\left(-x-2\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet -x-2 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(-x-2\right)\left(3x+20\right)$$

Løs -x-2=0 og 3x+20=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=-2 x=-\frac{20}{3}$$

Substituer x med -2 i ligningen \sqrt{x^{2}+2x+9}-7=2x.

$$\sqrt{\left(-2\right)^{2}+2\left(-2\right)+9}-7=2\left(-2\right)$$

Forenkling. Værdien x=-2 opfylder ligningen.

$$-4=-4$$

Substituer x med -\frac{20}{3} i ligningen \sqrt{x^{2}+2x+9}-7=2x.

$$\sqrt{\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}+2\left(-\frac{20}{3}\right)+9}-7=2\left(-\frac{20}{3}\right)$$

Forenkling. Den værdi, x=-\frac{20}{3}, ikke opfylder ligningen.

$$-\frac{2}{3}=-\frac{40}{3}$$

Ligningen \sqrt{x^{2}+2x+9}=2x+7 har en unik løsning.

$$x=-2$$