Løs sqrt{7x^2-5x+2}=3x-1

$$\sqrt { 7 x ^ { 2 } - 5 x + 2 } = 3 x - 1$$

Løs for x

$$x=1$$

Løsningsvejledning

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(\sqrt{7x^{2}-5x+2}\right)^{2}=\left(3x-1\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{7x^{2}-5x+2} til potensen af 2, og få 7x^{2}-5x+2.

$$7x^{2}-5x+2=\left(3x-1\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(3x-1\right)^{2}.

$$7x^{2}-5x+2=9x^{2}-6x+1$$

Subtraher 9x^{2} fra begge sider.

$$7x^{2}-5x+2-9x^{2}=-6x+1$$

Kombiner 7x^{2} og -9x^{2} for at få -2x^{2}.

$$-2x^{2}-5x+2=-6x+1$$

Tilføj 6x på begge sider.

$$-2x^{2}-5x+2+6x=1$$

Kombiner -5x og 6x for at få x.

$$-2x^{2}+x+2=1$$

Subtraher 1 fra begge sider.

$$-2x^{2}+x+2-1=0$$

Subtraher 1 fra 2 for at få 1.

$$-2x^{2}+x+1=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -2x^{2}+ax+bx+1. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=1 ab=-2=-2$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Det eneste par af den slags er systemløsningen.

$$a=2 b=-1$$

Omskriv -2x^{2}+x+1 som \left(-2x^{2}+2x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(-2x^{2}+2x\right)+\left(-x+1\right)$$

Udfaktoriser 2x i -2x^{2}+2x.

$$2x\left(-x+1\right)-x+1$$

Udfaktoriser fællesleddet -x+1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(-x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Løs -x+1=0 og 2x+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

Substituer x med 1 i ligningen \sqrt{7x^{2}-5x+2}=3x-1.

$$\sqrt{7\times 1^{2}-5+2}=3\times 1-1$$

Forenkling. Værdien x=1 opfylder ligningen.

$$2=2$$

Substituer x med -\frac{1}{2} i ligningen \sqrt{7x^{2}-5x+2}=3x-1.

$$\sqrt{7\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}-5\left(-\frac{1}{2}\right)+2}=3\left(-\frac{1}{2}\right)-1$$

Forenkling. Værdien x=-\frac{1}{2} opfylder ikke ligningen, fordi venstre og højre side har modsat fortegn.

$$\frac{5}{2}=-\frac{5}{2}$$

Ligningen \sqrt{7x^{2}-5x+2}=3x-1 har en unik løsning.

$$x=1$$