Løs sqrt{7x+67}=2x+5

$$\sqrt { 7 x + 67 } = 2 x + 5$$

Løs for x

$$x=2$$

Løsningsvejledning

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(\sqrt{7x+67}\right)^{2}=\left(2x+5\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{7x+67} til potensen af 2, og få 7x+67.

$$7x+67=\left(2x+5\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(2x+5\right)^{2}.

$$7x+67=4x^{2}+20x+25$$

Subtraher 4x^{2} fra begge sider.

$$7x+67-4x^{2}=20x+25$$

Subtraher 20x fra begge sider.

$$7x+67-4x^{2}-20x=25$$

Kombiner 7x og -20x for at få -13x.

$$-13x+67-4x^{2}=25$$

Subtraher 25 fra begge sider.

$$-13x+67-4x^{2}-25=0$$

Subtraher 25 fra 67 for at få 42.

$$-13x+42-4x^{2}=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-4x^{2}-13x+42=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -4x^{2}+ax+bx+42. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-13 ab=-4\times 42=-168$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -168.

$$1,-168 2,-84 3,-56 4,-42 6,-28 7,-24 8,-21 12,-14$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-168=-167 2-84=-82 3-56=-53 4-42=-38 6-28=-22 7-24=-17 8-21=-13 12-14=-2$$

Løsningen er det par, der får summen -13.

$$a=8 b=-21$$

Omskriv -4x^{2}-13x+42 som \left(-4x^{2}+8x\right)+\left(-21x+42\right).

$$\left(-4x^{2}+8x\right)+\left(-21x+42\right)$$

Ud4x i den første og 21 i den anden gruppe.

$$4x\left(-x+2\right)+21\left(-x+2\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet -x+2 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(-x+2\right)\left(4x+21\right)$$

Løs -x+2=0 og 4x+21=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=2 x=-\frac{21}{4}$$

Substituer x med 2 i ligningen \sqrt{7x+67}=2x+5.

$$\sqrt{7\times 2+67}=2\times 2+5$$

Forenkling. Værdien x=2 opfylder ligningen.

$$9=9$$

Substituer x med -\frac{21}{4} i ligningen \sqrt{7x+67}=2x+5.

$$\sqrt{7\left(-\frac{21}{4}\right)+67}=2\left(-\frac{21}{4}\right)+5$$

Forenkling. Værdien x=-\frac{21}{4} opfylder ikke ligningen, fordi venstre og højre side har modsat fortegn.

$$\frac{11}{2}=-\frac{11}{2}$$

Ligningen \sqrt{7x+67}=2x+5 har en unik løsning.

$$x=2$$