Løs sqrt{6x-1}-sqrt{5x+4}=9

$$\sqrt { 6 x - 1 } - \sqrt { 5 x + 4 } = 9$$

Løs for x

$$x=18\sqrt{2459}+896\approx 1788,589491312$$

Løsningsvejledning

Subtraher -\sqrt{5x+4} fra begge sider af ligningen.

$$\sqrt{6x-1}=9+\sqrt{5x+4}$$

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(\sqrt{6x-1}\right)^{2}=\left(9+\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{6x-1} til potensen af 2, og få 6x-1.

$$6x-1=\left(9+\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(9+\sqrt{5x+4}\right)^{2}.

$$6x-1=81+18\sqrt{5x+4}+\left(\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{5x+4} til potensen af 2, og få 5x+4.

$$6x-1=81+18\sqrt{5x+4}+5x+4$$

Tilføj 81 og 4 for at få 85.

$$6x-1=85+18\sqrt{5x+4}+5x$$

Subtraher 85+5x fra begge sider af ligningen.

$$6x-1-\left(85+5x\right)=18\sqrt{5x+4}$$

For at finde det modsatte af 85+5x skal du finde det modsatte af hvert led.

$$6x-1-85-5x=18\sqrt{5x+4}$$

Subtraher 85 fra -1 for at få -86.

$$6x-86-5x=18\sqrt{5x+4}$$

Kombiner 6x og -5x for at få x.

$$x-86=18\sqrt{5x+4}$$

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(x-86\right)^{2}=\left(18\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-86\right)^{2}.

$$x^{2}-172x+7396=\left(18\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Udvid \left(18\sqrt{5x+4}\right)^{2}.

$$x^{2}-172x+7396=18^{2}\left(\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Beregn 18 til potensen af 2, og få 324.

$$x^{2}-172x+7396=324\left(\sqrt{5x+4}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{5x+4} til potensen af 2, og få 5x+4.

$$x^{2}-172x+7396=324\left(5x+4\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 324 med 5x+4.

$$x^{2}-172x+7396=1620x+1296$$

Subtraher 1620x fra begge sider.

$$x^{2}-172x+7396-1620x=1296$$

Kombiner -172x og -1620x for at få -1792x.

$$x^{2}-1792x+7396=1296$$

Subtraher 1296 fra begge sider.

$$x^{2}-1792x+7396-1296=0$$

Subtraher 1296 fra 7396 for at få 6100.

$$x^{2}-1792x+6100=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 1 med a, -1792 med b og 6100 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{\left(-1792\right)^{2}-4\times 6100}}{2}$$

Kvadrér -1792.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{3211264-4\times 6100}}{2}$$

Multiplicer -4 gange 6100.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{3211264-24400}}{2}$$

Adder 3211264 til -24400.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±\sqrt{3186864}}{2}$$

Tag kvadratroden af 3186864.

$$x=\frac{-\left(-1792\right)±36\sqrt{2459}}{2}$$

Det modsatte af -1792 er 1792.

$$x=\frac{1792±36\sqrt{2459}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1792±36\sqrt{2459}}{2} når ± er plus. Adder 1792 til 36\sqrt{2459}.

$$x=\frac{36\sqrt{2459}+1792}{2}$$

Divider 1792+36\sqrt{2459} med 2.

$$x=18\sqrt{2459}+896$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1792±36\sqrt{2459}}{2} når ± er minus. Subtraher 36\sqrt{2459} fra 1792.

$$x=\frac{1792-36\sqrt{2459}}{2}$$

Divider 1792-36\sqrt{2459} med 2.

$$x=896-18\sqrt{2459}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=18\sqrt{2459}+896 x=896-18\sqrt{2459}$$

Substituer x med 18\sqrt{2459}+896 i ligningen \sqrt{6x-1}-\sqrt{5x+4}=9.

$$\sqrt{6\left(18\sqrt{2459}+896\right)-1}-\sqrt{5\left(18\sqrt{2459}+896\right)+4}=9$$

Forenkling. Værdien x=18\sqrt{2459}+896 opfylder ligningen.

$$9=9$$

Substituer x med 896-18\sqrt{2459} i ligningen \sqrt{6x-1}-\sqrt{5x+4}=9.

$$\sqrt{6\left(896-18\sqrt{2459}\right)-1}-\sqrt{5\left(896-18\sqrt{2459}\right)+4}=9$$

Forenkling. Værdien x=896-18\sqrt{2459} opfylder ikke ligningen, fordi venstre og højre side har modsat fortegn.

$$99-2\times 2459^{\frac{1}{2}}=9$$

Substituer x med 18\sqrt{2459}+896 i ligningen \sqrt{6x-1}-\sqrt{5x+4}=9.

$$\sqrt{6\left(18\sqrt{2459}+896\right)-1}-\sqrt{5\left(18\sqrt{2459}+896\right)+4}=9$$

Forenkling. Værdien x=18\sqrt{2459}+896 opfylder ligningen.

$$9=9$$

Ligningen \sqrt{6x-1}=\sqrt{5x+4}+9 har en unik løsning.

$$x=18\sqrt{2459}+896$$