Løs sqrt{5x-1}-sqrt{3x-2}=sqrt{x-1}

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 x - 2 } = \sqrt { x - 1 }$$

Løs for x

$$x=2$$

Løsningsvejledning

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{5x-1} til potensen af 2, og få 5x-1.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{3x-2} til potensen af 2, og få 3x-2.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+3x-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Kombiner 5x og 3x for at få 8x.

$$8x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Subtraher 2 fra -1 for at få -3.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x-1} til potensen af 2, og få x-1.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1$$

Subtraher 8x-3 fra begge sider af ligningen.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-\left(8x-3\right)$$

For at finde det modsatte af 8x-3 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-8x+3$$

Kombiner x og -8x for at få -7x.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x-1+3$$

Tilføj -1 og 3 for at få 2.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x+2$$

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Udvid \left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Beregn -2 til potensen af 2, og få 4.

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{5x-1} til potensen af 2, og få 5x-1.

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{3x-2} til potensen af 2, og få 3x-2.

$$4\left(5x-1\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4 med 5x-1.

$$\left(20x-4\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Anvend fordelingsegenskaben ved at gange hvert led i 20x-4 med hvert led i 3x-2.

$$60x^{2}-40x-12x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Kombiner -40x og -12x for at få -52x.

$$60x^{2}-52x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(-7x+2\right)^{2}.

$$60x^{2}-52x+8=49x^{2}-28x+4$$

Subtraher 49x^{2} fra begge sider.

$$60x^{2}-52x+8-49x^{2}=-28x+4$$

Kombiner 60x^{2} og -49x^{2} for at få 11x^{2}.

$$11x^{2}-52x+8=-28x+4$$

Tilføj 28x på begge sider.

$$11x^{2}-52x+8+28x=4$$

Kombiner -52x og 28x for at få -24x.

$$11x^{2}-24x+8=4$$

Subtraher 4 fra begge sider.

$$11x^{2}-24x+8-4=0$$

Subtraher 4 fra 8 for at få 4.

$$11x^{2}-24x+4=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 11x^{2}+ax+bx+4. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-24 ab=11\times 4=44$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 44.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

Løsningen er det par, der får summen -24.

$$a=-22 b=-2$$

Omskriv 11x^{2}-24x+4 som \left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Ud11x i den første og -2 i den anden gruppe.

$$11x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-2 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-2\right)\left(11x-2\right)$$

Løs x-2=0 og 11x-2=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=2 x=\frac{2}{11}$$

Substituer x med \frac{2}{11} i ligningen \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}. Udtrykket \sqrt{5\times \frac{2}{11}-1} er ikke defineret, fordi radicand ikke kan være negativ.

$$\sqrt{5\times \frac{2}{11}-1}-\sqrt{3\times \frac{2}{11}-2}=\sqrt{\frac{2}{11}-1}$$

Substituer x med 2 i ligningen \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}.

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3\times 2-2}=\sqrt{2-1}$$

Forenkling. Værdien x=2 opfylder ligningen.

$$1=1$$

Ligningen \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} har en unik løsning.

$$x=2$$