Løs sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

Løs for x (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3,31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3,31662479i$$

Løsningsvejledning

Subtraher -\sqrt{15+x^{2}} fra begge sider af ligningen.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{25-x^{2}} til potensen af 2, og få 25-x^{2}.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{15+x^{2}} til potensen af 2, og få 15+x^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

Tilføj 16 og 15 for at få 31.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

Subtraher 31+x^{2} fra begge sider af ligningen.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

For at finde det modsatte af 31+x^{2} skal du finde det modsatte af hvert led.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Subtraher 31 fra 25 for at få -6.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Kombiner -x^{2} og -x^{2} for at få -2x^{2}.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(-6-2x^{2}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

For at hæve en potens til en anden potens, skal du gange eksponenterne. Gang 2 og 2 for at få 4.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Udvid \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Beregn 8 til potensen af 2, og få 64.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{15+x^{2}} til potensen af 2, og få 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 64 med 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

Subtraher 960 fra begge sider.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

Subtraher 960 fra 36 for at få -924.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

Subtraher 64x^{2} fra begge sider.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

Kombiner 24x^{2} og -64x^{2} for at få -40x^{2}.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

Erstat t for x^{2}.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat 4 med a, -40 med b, og -924 med c i den kvadratiske formel.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

Lav beregningerne.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

Løs ligningen t=\frac{40±128}{8} når ± er plus, og når ± er minus.

$$t=21 t=-11$$

Siden x=t^{2} bliver løsningerne hentet ved at evaluere x=±\sqrt{t} for hver t.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

Substituer x med -\sqrt{21} i ligningen \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Forenkling. Værdien x=-\sqrt{21} opfylder ikke ligningen, fordi venstre og højre side har modsat fortegn.

$$-4=4$$

Substituer x med \sqrt{21} i ligningen \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Forenkling. Værdien x=\sqrt{21} opfylder ikke ligningen, fordi venstre og højre side har modsat fortegn.

$$-4=4$$

Substituer x med -\sqrt{11}i i ligningen \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Forenkling. Værdien x=-\sqrt{11}i opfylder ligningen.

$$4=4$$

Substituer x med \sqrt{11}i i ligningen \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Forenkling. Værdien x=\sqrt{11}i opfylder ligningen.

$$4=4$$

Vis alle løsninger af \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$