Løs sqrt{2x+7}-3x+1=x-1

$$\sqrt { 2 x + 7 } - 3 x + 1 = x - 1$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{129} + 9}{16} \approx 1,272363543$$

Løsningsvejledning

Subtraher -3x+1 fra begge sider af ligningen.

$$\sqrt{2x+7}=x-1-\left(-3x+1\right)$$

For at finde det modsatte af -3x+1 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$\sqrt{2x+7}=x-1-\left(-3x\right)-1$$

Det modsatte af -3x er 3x.

$$\sqrt{2x+7}=x-1+3x-1$$

Kombiner x og 3x for at få 4x.

$$\sqrt{2x+7}=4x-1-1$$

Subtraher 1 fra -1 for at få -2.

$$\sqrt{2x+7}=4x-2$$

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(\sqrt{2x+7}\right)^{2}=\left(4x-2\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{2x+7} til potensen af 2, og få 2x+7.

$$2x+7=\left(4x-2\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(4x-2\right)^{2}.

$$2x+7=16x^{2}-16x+4$$

Subtraher 16x^{2} fra begge sider.

$$2x+7-16x^{2}=-16x+4$$

Tilføj 16x på begge sider.

$$2x+7-16x^{2}+16x=4$$

Kombiner 2x og 16x for at få 18x.

$$18x+7-16x^{2}=4$$

Subtraher 4 fra begge sider.

$$18x+7-16x^{2}-4=0$$

Subtraher 4 fra 7 for at få 3.

$$18x+3-16x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-16x^{2}+18x+3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -16 med a, 18 med b og 3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-16\right)\times 3}}{2\left(-16\right)}$$

Kvadrér 18.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-16\right)\times 3}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplicer -4 gange -16.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+64\times 3}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplicer 64 gange 3.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+192}}{2\left(-16\right)}$$

Adder 324 til 192.

$$x=\frac{-18±\sqrt{516}}{2\left(-16\right)}$$

Tag kvadratroden af 516.

$$x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplicer 2 gange -16.

$$x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{-32}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{-32} når ± er plus. Adder -18 til 2\sqrt{129}.

$$x=\frac{2\sqrt{129}-18}{-32}$$

Divider -18+2\sqrt{129} med -32.

$$x=\frac{9-\sqrt{129}}{16}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{-32} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{129} fra -18.

$$x=\frac{-2\sqrt{129}-18}{-32}$$

Divider -18-2\sqrt{129} med -32.

$$x=\frac{\sqrt{129}+9}{16}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{9-\sqrt{129}}{16} x=\frac{\sqrt{129}+9}{16}$$

Substituer x med \frac{9-\sqrt{129}}{16} i ligningen \sqrt{2x+7}-3x+1=x-1.

$$\sqrt{2\times \frac{9-\sqrt{129}}{16}+7}-3\times \frac{9-\sqrt{129}}{16}+1=\frac{9-\sqrt{129}}{16}-1$$

Forenkling. Værdien x=\frac{9-\sqrt{129}}{16} opfylder ikke ligningen, fordi venstre og højre side har modsat fortegn.

$$-\frac{15}{16}+\frac{7}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}=-\frac{7}{16}-\frac{1}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}$$

Substituer x med \frac{\sqrt{129}+9}{16} i ligningen \sqrt{2x+7}-3x+1=x-1.

$$\sqrt{2\times \frac{\sqrt{129}+9}{16}+7}-3\times \frac{\sqrt{129}+9}{16}+1=\frac{\sqrt{129}+9}{16}-1$$

Forenkling. Værdien x=\frac{\sqrt{129}+9}{16} opfylder ligningen.

$$-\frac{7}{16}+\frac{1}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}-\frac{7}{16}$$

Ligningen \sqrt{2x+7}=4x-2 har en unik løsning.

$$x=\frac{\sqrt{129}+9}{16}$$