Løs sqrt{2x+5}-sqrt{x-2}=3

$$\sqrt { 2 x + 5 } - \sqrt { x - 2 } = 3$$

Løs for x

$$x=38$$

$$x=2$$

Løsningsvejledning

Subtraher -\sqrt{x-2} fra begge sider af ligningen.

$$\sqrt{2x+5}=3+\sqrt{x-2}$$

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(\sqrt{2x+5}\right)^{2}=\left(3+\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{2x+5} til potensen af 2, og få 2x+5.

$$2x+5=\left(3+\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(3+\sqrt{x-2}\right)^{2}.

$$2x+5=9+6\sqrt{x-2}+\left(\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x-2} til potensen af 2, og få x-2.

$$2x+5=9+6\sqrt{x-2}+x-2$$

Subtraher 2 fra 9 for at få 7.

$$2x+5=7+6\sqrt{x-2}+x$$

Subtraher 7+x fra begge sider af ligningen.

$$2x+5-\left(7+x\right)=6\sqrt{x-2}$$

For at finde det modsatte af 7+x skal du finde det modsatte af hvert led.

$$2x+5-7-x=6\sqrt{x-2}$$

Subtraher 7 fra 5 for at få -2.

$$2x-2-x=6\sqrt{x-2}$$

Kombiner 2x og -x for at få x.

$$x-2=6\sqrt{x-2}$$

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(x-2\right)^{2}=\left(6\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=\left(6\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Udvid \left(6\sqrt{x-2}\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=6^{2}\left(\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Beregn 6 til potensen af 2, og få 36.

$$x^{2}-4x+4=36\left(\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x-2} til potensen af 2, og få x-2.

$$x^{2}-4x+4=36\left(x-2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 36 med x-2.

$$x^{2}-4x+4=36x-72$$

Subtraher 36x fra begge sider.

$$x^{2}-4x+4-36x=-72$$

Kombiner -4x og -36x for at få -40x.

$$x^{2}-40x+4=-72$$

Tilføj 72 på begge sider.

$$x^{2}-40x+4+72=0$$

Tilføj 4 og 72 for at få 76.

$$x^{2}-40x+76=0$$

Faktor x^{2}-40x+76 ved hjælp af formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) for at løse ligningen. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-40 ab=76$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 76.

$$-1,-76 -2,-38 -4,-19$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-76=-77 -2-38=-40 -4-19=-23$$

Løsningen er det par, der får summen -40.

$$a=-38 b=-2$$

Omskriv det faktoriserede udtryk \left(x+a\right)\left(x+b\right) ved hjælp af de opnåede værdier.

$$\left(x-38\right)\left(x-2\right)$$

Løs x-38=0 og x-2=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=38 x=2$$

Substituer x med 38 i ligningen \sqrt{2x+5}-\sqrt{x-2}=3.

$$\sqrt{2\times 38+5}-\sqrt{38-2}=3$$

Forenkling. Værdien x=38 opfylder ligningen.

$$3=3$$

Substituer x med 2 i ligningen \sqrt{2x+5}-\sqrt{x-2}=3.

$$\sqrt{2\times 2+5}-\sqrt{2-2}=3$$

Forenkling. Værdien x=2 opfylder ligningen.

$$3=3$$

Vis alle løsninger af \sqrt{2x+5}=\sqrt{x-2}+3.

$$x=38 x=2$$