Løs sqrt{15+x^2}-sqrt{19-x^2}=2

$$\sqrt { 15 + x ^ { 2 } } - \sqrt { 19 - x ^ { 2 } } = 2$$

Løs for x

$$x=\sqrt{10}\approx 3,16227766$$

$$x=-\sqrt{10}\approx -3,16227766$$

Løsningsvejledning

Subtraher -\sqrt{19-x^{2}} fra begge sider af ligningen.

$$\sqrt{15+x^{2}}=2+\sqrt{19-x^{2}}$$

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{15+x^{2}} til potensen af 2, og få 15+x^{2}.

$$15+x^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{19-x^{2}} til potensen af 2, og få 19-x^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+19-x^{2}$$

Tilføj 4 og 19 for at få 23.

$$15+x^{2}=23+4\sqrt{19-x^{2}}-x^{2}$$

Subtraher 23-x^{2} fra begge sider af ligningen.

$$15+x^{2}-\left(23-x^{2}\right)=4\sqrt{19-x^{2}}$$

For at finde det modsatte af 23-x^{2} skal du finde det modsatte af hvert led.

$$15+x^{2}-23+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Subtraher 23 fra 15 for at få -8.

$$-8+x^{2}+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Kombiner x^{2} og x^{2} for at få 2x^{2}.

$$-8+2x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(-8+2x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(-8+2x^{2}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

For at hæve en potens til en anden potens, skal du gange eksponenterne. Gang 2 og 2 for at få 4.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Udvid \left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=4^{2}\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Beregn 4 til potensen af 2, og få 16.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{19-x^{2}} til potensen af 2, og få 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(19-x^{2}\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 16 med 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=304-16x^{2}$$

Subtraher 304 fra begge sider.

$$64-32x^{2}+4x^{4}-304=-16x^{2}$$

Subtraher 304 fra 64 for at få -240.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}=-16x^{2}$$

Tilføj 16x^{2} på begge sider.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}+16x^{2}=0$$

Kombiner -32x^{2} og 16x^{2} for at få -16x^{2}.

$$-240-16x^{2}+4x^{4}=0$$

Erstat t for x^{2}.

$$4t^{2}-16t-240=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat 4 med a, -16 med b, og -240 med c i den kvadratiske formel.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-240\right)}}{2\times 4}$$

Lav beregningerne.

$$t=\frac{16±64}{8}$$

Løs ligningen t=\frac{16±64}{8} når ± er plus, og når ± er minus.

$$t=10 t=-6$$

Siden x=t^{2} bliver løsningerne hentet ved at evaluere x=±\sqrt{t} for positive t.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$

Substituer x med \sqrt{10} i ligningen \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Forenkling. Værdien x=\sqrt{10} opfylder ligningen.

$$2=2$$

Substituer x med -\sqrt{10} i ligningen \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Forenkling. Værdien x=-\sqrt{10} opfylder ligningen.

$$2=2$$

Vis alle løsninger af \sqrt{x^{2}+15}=\sqrt{19-x^{2}}+2.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$