Løs quadtext{17}x-3/x+3+x+3/x-3=21/2

$$\quad \text { 17 } \frac { x - 3 } { x + 3 } + \frac { x + 3 } { x - 3 } = 2 \frac { 1 } { 2 }$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{247}i+96}{31}\approx 3,096774194-1,520925837i$$

$$x=\frac{96+3\sqrt{247}i}{31}\approx 3,096774194+1,520925837i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -3,3, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 2\left(x-3\right)\left(x+3\right), det mindste fælles multiplum af x+3,x-3,2.

$$17\left(2x-6\right)\left(x-3\right)+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 17 med 2x-6.

$$\left(34x-102\right)\left(x-3\right)+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 34x-102 med x-3, og kombiner ens led.

$$34x^{2}-204x+306+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x+6 med x+3, og kombiner ens led.

$$34x^{2}-204x+306+2x^{2}+12x+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Kombiner 34x^{2} og 2x^{2} for at få 36x^{2}.

$$36x^{2}-204x+306+12x+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Kombiner -204x og 12x for at få -192x.

$$36x^{2}-192x+306+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Tilføj 306 og 18 for at få 324.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Multiplicer 2 og 2 for at få 4.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\left(4+1\right)$$

Tilføj 4 og 1 for at få 5.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\times 5$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x^{2}-9 med 5.

$$36x^{2}-192x+324=5x^{2}-45$$

Subtraher 5x^{2} fra begge sider.

$$36x^{2}-192x+324-5x^{2}=-45$$

Kombiner 36x^{2} og -5x^{2} for at få 31x^{2}.

$$31x^{2}-192x+324=-45$$

Tilføj 45 på begge sider.

$$31x^{2}-192x+324+45=0$$

Tilføj 324 og 45 for at få 369.

$$31x^{2}-192x+369=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 31 med a, -192 med b og 369 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{\left(-192\right)^{2}-4\times 31\times 369}}{2\times 31}$$

Kvadrér -192.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{36864-4\times 31\times 369}}{2\times 31}$$

Multiplicer -4 gange 31.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{36864-124\times 369}}{2\times 31}$$

Multiplicer -124 gange 369.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{36864-45756}}{2\times 31}$$

Adder 36864 til -45756.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{-8892}}{2\times 31}$$

Tag kvadratroden af -8892.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±6\sqrt{247}i}{2\times 31}$$

Det modsatte af -192 er 192.

$$x=\frac{192±6\sqrt{247}i}{2\times 31}$$

Multiplicer 2 gange 31.

$$x=\frac{192±6\sqrt{247}i}{62}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{192±6\sqrt{247}i}{62} når ± er plus. Adder 192 til 6i\sqrt{247}.

$$x=\frac{192+6\sqrt{247}i}{62}$$

Divider 192+6i\sqrt{247} med 62.

$$x=\frac{96+3\sqrt{247}i}{31}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{192±6\sqrt{247}i}{62} når ± er minus. Subtraher 6i\sqrt{247} fra 192.

$$x=\frac{-6\sqrt{247}i+192}{62}$$

Divider 192-6i\sqrt{247} med 62.

$$x=\frac{-3\sqrt{247}i+96}{31}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{96+3\sqrt{247}i}{31} x=\frac{-3\sqrt{247}i+96}{31}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med en af følgende værdier -3,3, fordi division med nul ikke er defineret. Gang begge sider af ligningen med 2\left(x-3\right)\left(x+3\right), det mindste fælles multiplum af x+3,x-3,2.

$$17\left(2x-6\right)\left(x-3\right)+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 17 med 2x-6.

$$\left(34x-102\right)\left(x-3\right)+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 34x-102 med x-3, og kombiner ens led.

$$34x^{2}-204x+306+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x+6 med x+3, og kombiner ens led.

$$34x^{2}-204x+306+2x^{2}+12x+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Kombiner 34x^{2} og 2x^{2} for at få 36x^{2}.

$$36x^{2}-204x+306+12x+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Kombiner -204x og 12x for at få -192x.

$$36x^{2}-192x+306+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Tilføj 306 og 18 for at få 324.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Multiplicer 2 og 2 for at få 4.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\left(4+1\right)$$

Tilføj 4 og 1 for at få 5.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\times 5$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x^{2}-9 med 5.

$$36x^{2}-192x+324=5x^{2}-45$$

Subtraher 5x^{2} fra begge sider.

$$36x^{2}-192x+324-5x^{2}=-45$$

Kombiner 36x^{2} og -5x^{2} for at få 31x^{2}.

$$31x^{2}-192x+324=-45$$

Subtraher 324 fra begge sider.

$$31x^{2}-192x=-45-324$$

Subtraher 324 fra -45 for at få -369.

$$31x^{2}-192x=-369$$

Divider begge sider med 31.

$$\frac{31x^{2}-192x}{31}=-\frac{369}{31}$$

Division med 31 annullerer multiplikationen med 31.

$$x^{2}-\frac{192}{31}x=-\frac{369}{31}$$

Divider -\frac{192}{31}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{96}{31}. Adder derefter kvadratet af -\frac{96}{31} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{192}{31}x+\left(-\frac{96}{31}\right)^{2}=-\frac{369}{31}+\left(-\frac{96}{31}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{96}{31} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{192}{31}x+\frac{9216}{961}=-\frac{369}{31}+\frac{9216}{961}$$

Føj -\frac{369}{31} til \frac{9216}{961} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{192}{31}x+\frac{9216}{961}=-\frac{2223}{961}$$

Faktor x^{2}-\frac{192}{31}x+\frac{9216}{961}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{96}{31}\right)^{2}=-\frac{2223}{961}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{96}{31}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2223}{961}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{96}{31}=\frac{3\sqrt{247}i}{31} x-\frac{96}{31}=-\frac{3\sqrt{247}i}{31}$$

Adder \frac{96}{31} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{96+3\sqrt{247}i}{31} x=\frac{-3\sqrt{247}i+96}{31}$$