Løs ∫ (from -1 to 1) of -y^2+1 wrt y

$$\int_{ -1 }^{ 1 } - { y }^{ 2 } +1 d y$$

Evaluer

$$\frac{4}{3}\approx 1,333333333$$

Løsningsvejledning

Evaluer den ubestemte integral først.

$$\int -y^{2}+1\mathrm{d}y$$

Integrer summen ord for ord.

$$\int -y^{2}\mathrm{d}y+\int 1\mathrm{d}y$$

Udfaktoriser konstanten i hver af ordene.

$$-\int y^{2}\mathrm{d}y+\int 1\mathrm{d}y$$

\int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int y^{2}\mathrm{d}y med \frac{y^{3}}{3}. Multiplicer -1 gange \frac{y^{3}}{3}.

$$-\frac{y^{3}}{3}+\int 1\mathrm{d}y$$

Find integralen af 1 ved hjælp af tabellen med almindelige integraler for \int a\mathrm{d}y=ay.

$$-\frac{y^{3}}{3}+y$$

Den definitive integral er antiafledningen af udtrykket evalueret ved den øvre integrationsgrænse minus antiafledningen evalueret ved den nedre integrationsgrænse.

$$-\frac{1^{3}}{3}+1-\left(-\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}-1\right)$$

Forenkling.

$$\frac{4}{3}$$