Løs ∫ _{-pi/2}^frac{pi{2}}(1+cos(x)) wrt x

$$\int_{ - \frac{ \pi }{ 2 } }^{ \frac{ \pi }{ 2 } } (1+ \cos ( x ) ) d x$$

Evaluer

$$\pi +2\approx 5,141592654$$

Løsningsvejledning

Evaluer den ubestemte integral først.

$$\int 1+\cos(x)\mathrm{d}x$$

Integrer summen ord for ord.

$$\int 1\mathrm{d}x+\int \cos(x)\mathrm{d}x$$

Find integralen af 1 ved hjælp af tabellen med almindelige integraler for \int a\mathrm{d}x=ax.

$$x+\int \cos(x)\mathrm{d}x$$

Brug \int \cos(x)\mathrm{d}x=\sin(x) fra tabellen med almindelige integraler for at få resultatet.

$$x+\sin(x)$$

Den definitive integral er antiafledningen af udtrykket evalueret ved den øvre integrationsgrænse minus antiafledningen evalueret ved den nedre integrationsgrænse.

$$\frac{\pi }{2}+\sin(\frac{\pi }{2})-\left(-\frac{\pi }{2}+\sin(-\frac{\pi }{2})\right)$$

Forenkling.

$$\pi +2$$