Løs ∫ x(2+x^2)^2 wrt x

$$\int x ( 2 + x ^ { 2 } ) ^ { 2 } d x$$

Evaluer

$$\frac{x^{6}}{6}+x^{4}+2x^{2}+С$$

Løsningsvejledning

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(2+x^{2}\right)^{2}.

$$\int x\left(4+4x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}\right)\mathrm{d}x$$

For at hæve en potens til en anden potens, skal du gange eksponenterne. Gang 2 og 2 for at få 4.

$$\int x\left(4+4x^{2}+x^{4}\right)\mathrm{d}x$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med 4+4x^{2}+x^{4}.

$$\int 4x+4x^{3}+x^{5}\mathrm{d}x$$

Integrer summen ord for ord.

$$\int 4x\mathrm{d}x+\int 4x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

Udfaktoriser konstanten i hver af ordene.

$$4\int x\mathrm{d}x+4\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int x\mathrm{d}x med \frac{x^{2}}{2}. Multiplicer 4 gange \frac{x^{2}}{2}.

$$2x^{2}+4\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int x^{3}\mathrm{d}x med \frac{x^{4}}{4}. Multiplicer 4 gange \frac{x^{4}}{4}.

$$2x^{2}+x^{4}+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} til k\neq -1, skal du erstatte \int x^{5}\mathrm{d}x med \frac{x^{6}}{6}.

$$2x^{2}+x^{4}+\frac{x^{6}}{6}$$

Hvis F\left(x\right) er en anti afledt af f\left(x\right), gives der F\left(x\right)+C til sættet af alle anti derivater af f\left(x\right). Derfor skal du føje konstanten for integrations C\in \mathrm{R} til resultatet.

$$\frac{x^{6}}{6}+x^{4}+2x^{2}+С$$

Differentier w.r.t. x

$$x\left(x^{2}+2\right)^{2}$$