Løs ∫ (from r to sqrt { alpha ^ 2) of - r}r wrt z

$$\int _ { r } ^ { \sqrt { \alpha ^ { 2 } - r } } r d z$$

Evaluer

$$r\left(\sqrt{\alpha ^{2}-r}-r\right)$$

$$r\leq \alpha ^{2}$$

Løsningsvejledning

Evaluer den ubestemte integral først.

$$\int r\mathrm{d}z$$

Find integralen af r ved hjælp af tabellen med almindelige integraler for \int a\mathrm{d}z=az.

$$rz$$

Den definitive integral er antiafledningen af udtrykket evalueret ved den øvre integrationsgrænse minus antiafledningen evalueret ved den nedre integrationsgrænse.

$$r\left(\alpha ^{2}-r\right)^{\frac{1}{2}}-rr$$

Forenkling.

$$r\left(\sqrt{\alpha ^{2}-r}-r\right)$$

Differentier w.r.t. r

$$\frac{\alpha ^{2}}{\sqrt{\alpha ^{2}-r}}-2r-\frac{3r}{2\sqrt{\alpha ^{2}-r}}$$